алгебра - Какая группа может быть???

Просто есть формальное определение ядра:

$%G,J$%--группы, $%f \in Hom(G,J) $%

$%Ker f = f^{-1}(1_J)= $%{$%g \in G | f(g) = 1_J$%}

И может его, как-то можно перефразировать , чтобы было легче выучить??(и может по этому методу я смогу наконеч запомнить все остальные определения, пречитая их по-иному)

@Романенко: пока не получается выявить содержание реального вопроса. Попытаюсь ещё раз убедить Вас, что в заданной форме он звучит абсурдно. Рассмотрим самый простой пример: единичная группа G={1} относительно операции умножения. Она состоит из числа. Инъекциями и сюръекциями могут быть только отображения. Число не является отображением. Получается пример группы, в которой нет ни инъекции, ни сюръекции (ни также крокодила, ни параллелограмма, а есть просто число). Формально это отвечает на поставленный вопрос, но ведь такое не могло иметься в виду?

Ядро -- это множество, а не свойство.

@Романенко: ядром гомоморфизма групп называется МНОЖЕСТВО, состоящее из всех элементов группы G, которые при гомоморфизме f переходят в нейтральный элемент группы J. У Вас же словесно было сказано нечто иное. Там фигурировало свойство. А должно быть множество. По-моему, путаница происходит на уровне каких-то базовых понятий, и даже на уровне языка. Одни вещи всё время подменяются другими, и называются не своими именами.

@falcao, спасибо, точно ядро -- это множество, а не свойство!.Я почему-то забыk и не увидел , что это в определении было написано: $%g \in G $%

Кстати:

1. $%Ker f = f^{-1}(1_J)=$% --- из определения знак равенства означает, что можно обозначить $%Ker f$%, как $%f^{-1}(1_J)$%?

2. В другом месте определения: {$%g \in G | f(g) = 1_J$%} знак равенства можно заменить словом переходит, т.е. знак равенства означает все время разные вещи?????

Если да, то вот и в этом наверное трудность(путаница) у меня точно: не оговорино смысла символов в начале!!!

В программировании(на си) легче в этом плане там "=" ---- это всегда знак присваивания, а логическое равенство --- "==" и в этом было легче мне.

@Романенко: равенство из первого пункта говорит о том, что ядро, то есть Ker f, есть полный прообраз единичного элемента группы J. Но это пересказ того же самого -- никакой новой мысли тут нет.

Знак равенства ничем заменить нельзя. Про элемент g мы в самом деле говорим, что он переходит в 1, но это и значит ровно то, что f(g)=1. Имеется в виду, что g всегда переходит в f(g), и если f(g)=1, то g принадлежит ядру.

В той формулировке, которую Вы привели, смысл всего оговорён, или однозначно следует из формул. Там все так же строго, как в программировании. А знак равенства яснее, чем ==.