В футбольном турнире, проходящем в один круг (каждая команда должна сыграть с каждой ровно по одному разу), играют N команд. В некоторый момент турнира тренер команды A заметил, что любые две команды, отличные от A, сыграли разное количество игр. Также известно, что к этому моменту команда Aсыграла 13 игр. Какое количество N команд могло участвовать в этом турнире? В ответ запишите сумму всех возможных значений N.

задан 9 Ноя '17 19:29

какой ответ будет,если мне дано что в турнире 26 команд,а надо найти наибольшее кол-во игр команды А

(1 Фев '18 11:32) U1timate

@U1timate: в решении описана достаточно общая ситуация, из которой должна быть видна связь между числом команд и количеством игр А.

(1 Фев '18 12:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Число игр, в которых участвовала команда, в любой момент находится в пределах от 0 до N-1. При этом не может так оказаться, что одна команда сыграла 0 матчей, а какая-то сыграла все N-1. Значит, всегда есть повторения, что является сюжетом известной задачи.

Рассмотрим N-1 команду кроме A. Число игр изменяется в тех же пределах, и значения 0 и N-1 по-прежнему несовместимы. Если все значения разные, то это или от 0 до N-2 включительно, либо от 1 до N-1.

В первом случае есть команда, которая ни с кем не играла. Если её исключить из рассмотрения, то кроме A останется N-2 команды со значениями от 1 до N-2. Тогда последняя из них играла со всеми, включая A. Если и эту команду исключить из рассмотрения, то помимо A останется N-3 команды со значениями от 0 до N-4, и с ними A играла 12 раз. Далее через два шага мы получим N-5 команд со значениями от 0 до N-6, с которыми A играла 11 раз, и так далее.

Получается, что при значениях игр команд от 0 до N-2k, команда A с ними провела 14-k встреч. Так мы дойдём до k=13, и окажется, что A играла одну встречу с N-25 командами, у которых значения лежат в пределах от 0 до N-26 включительно. Отсюда следует, что N=27 или N=28. Сами эти значения подходят, так как данная процедура может быть проделана в обратном порядке с получением расписания. При N>28 следующий шаг даёт противоречие: если команда A не играла ни с кем из оставшихся, то там не могло получиться попарно различных значений, если остались по крайней мере двое.

Во втором случае, при значениях от 1 до N-1, есть команда, игравшая со всеми. Тогда её, как и выше, исключаем. Получается, что A провела 12 встреч с командами, у которых количество игр принимает значения от 0 до N-3 (значение N-1 исчезло, а остальные уменьшились на 1). Видно, что при уменьшении на единицу числа игр A, правая граница значений для остальных команд уменьшается на 2. Значит, при уменьшении числа игр A ещё на 11 (оно станет равным 1), получатся границы от 0 до N-25, откуда следует, что N=26 или N=27, причём эти значения подходят.

Таким образом, в турнире могло участвовать 26, 27 или 28 команд; сумма этих значений равна 81.

ссылка

отвечен 9 Ноя '17 22:15

@Светлана2001: я написал. Комментарий с адресом теперь можно удалить.

(10 Ноя '17 7:29) falcao

А нельзя решить эту задачу посредством неравенства?

(11 Ноя '17 3:35) Светлана2001

@Светлана2001: я не знаю, что имеется в виду. Если у Вас есть какая-то конкретная идея другого способа решения, то изложите. Вполне допускаю, что решать можно многими способами. Но там в любом случае надо проверять, что турниры с указанным числом участников возможны. Если я вдруг выведу неравенства 26<=n<=28, это будет означать только необходимые условия.

(11 Ноя '17 4:07) falcao

@falcao Как решать , если команда сыграла 11 игр?

(28 Янв '18 0:12) IvanKrut

@IvanEblan, В ответе @falcao описано решение почти в общем виде... потрудитесь сами подставить Ваши цифири...

(28 Янв '18 0:25) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,318

задан
9 Ноя '17 19:29

показан
5052 раза

обновлен
1 Фев '18 12:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru