|
Найти наибольшее значение параметра $%a$%, при котором неравенство $%x^2\ge a[x]\{x\}$% выполняется при всех действительных значениях $%x$% ($%[x] -$% целая часть, $%\{x\}$% -дробная часть числа $%x$%). задан 3 Мар '13 15:11 
Anatoliy |
|
Если $%x$% целое, то неравенство верно для всех $%a$%. Пусть $%x=k+\alpha$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%, $%\alpha\in(0,1)$%. Рассмотрим случай, когда $%k\ge1$%. Тогда $$\frac{x^2}{\lfloor{x}\rfloor\{x\}}=\frac{(k+\alpha)^2}{k\alpha}=\frac{k}{\alpha}+2+\frac{\alpha}{k}=\left(\sqrt{\frac{k}{\alpha}}-\sqrt{\frac{\alpha}{k}}\right)^2+4\ge4,$$ то есть значение $%a=4$% подходит для $%k\ge1$%. Ясно, что при $%k\le0$% оно также подходит. Осталось проверить, что никакое $%a<4$% не подходит. Положим $%k=1$%, и пусть $%\alpha$% стремится к $%1$% слева. Тогда значение дроби $%(k+\alpha)^2/(k\alpha)$% стремится к $%4$%, откуда следует, что наибольшее значение параметра $%a$% равно $%4$%. отвечен 3 Мар '13 16:11 
falcao Оригинальное решение. Если не будет решений попроще, то засчитаю Ваше. Спасибо.
(3 Мар '13 17:36)
Anatoliy
Если бы я сейчас оформлял заново, то использовал бы то, что $%(k+\alpha)^2=(k-\alpha)^2+4k\alpha\ge4k\alpha$%, чтобы не было квадратных корней в записи, но это уже уровень "наведения макияжа".
(3 Мар '13 20:43)
falcao
А если попробовать решить графически?
(3 Мар '13 20:49)
Anatoliy
Дело в том, что графический способ всё равно потом нужно аналитически обосновывать. Он бывает удобен, чтобы увидеть, как всё происходит. Но здесь в этом нет необходимости, так как функция, исследуемая на экстремум, выглядит очень просто. Я когда только начал рассуждать, то понял, что при каждом отдельном $%k$% нужно найти экстремум некой функции на $%(0,1)$%, но она там оказывается убывающей, что сразу ясно после нахождения производной. При этом мне бросилось в глаза выражение вида $%t+1/t$%, на что я в итоге и решил опереться.
(3 Мар '13 20:58)
falcao
|