Вот есть комплексное число: $%c= a + bi$%

Но почему $%\bar c = a - bi$% --- это автоморфизм поля?????

задан 11 Ноя '17 0:33

2

Потому что сумма двух сопряжённых переходит в сумму, а произведение -- в произведение. Это известные свойства сопряжения.

(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i сопряжено (a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)

(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i сопряжено (ac-bd)+(ad+bc)i=(a+bi)(c+di)

Значит, это гомоморфизм колец. Он инъективен и сюръективен, что очевидно. Значит, это изоморфизм C на себя, то есть автоморфизм.

(11 Ноя '17 0:49) falcao

@falcao, спасибо, все понял!)))

(11 Ноя '17 2:10) Романенко

@falcao, хотя, а почему поля? Знаю, только, что поле-- это коммутативное тело.

А тело-- это..... кольцо без нуля(нейтрального элемента), в котором каждый элемент обратим ?

(11 Ноя '17 2:26) Романенко
1

@Романенко: колец без нуля не бывает. Правильно говорить, что в поле каждый ненулевой элемент обратим. При этом есть ещё аксиомы ассоциативности и коммутативности умножения, а также наличия единицы. Но это всё в учебниках написано, и надо знать наизусть, так как часто требуется. То, что С -- поле, общеизвестно.

(11 Ноя '17 2:57) falcao

@falcao, ясно, т.е. надо просто взять и выучить!!!

(11 Ноя '17 4:46) Романенко
1

@Романенко Вот вам эффектная задача на эту тему. Доказать что уравнение $%(x+y\sqrt{5})^4+(z+t\sqrt{5})^4=2+\sqrt{5}$% не имеет решений в рациональных числах.

(11 Ноя '17 5:19) abc
1

@abc: а разве не будет верно то же самое уже для вторых степеней вместо 4-х?

(11 Ноя '17 10:45) falcao

@abc, спасибо, я разложил по биному, а как дальше группировать: действит. часть в одну сторону, мнимую в другую?

(14 Ноя '17 2:48) Романенко

@Романенко: да, именно так, потому что при условии рациональности коэффициентов, можно приравнивать эти вещи подобно тому, как мы это делаем с действительной и мнимой частью. Только не надо здесь это называть такими именами, так как тут всё вещественное.

Проще то же самое делать с квадратами вместо 4-х степеней. Тогда получится более сильное утверждение, а проверяется оно проще.

(14 Ноя '17 2:59) falcao

@falcao, спасибо(я все так и хочу уже доделать с 4-ой степенью).

" потому что при условии рациональности коэффициентов, можно приравнивать эти вещи подобно тому, как мы это делаем с действительной и мнимой частью"---а можно по подробнее, просто я не очень уловил мысль!!((((

Сам уже все сгруппировал, а дальше не понимаю, там нужно "действит. часть" приравнять к 2, а "мнимую" к sqrt(5) по Вашим словам ???

(14 Ноя '17 3:17) Романенко
1

@Романенко: вот, кавычки тут очень хорошую роль играют. Можно мыслить в привычных образах, и исчезают ложные утверждения. Только корень там из 5, а не из 2, но сути это не меняет.

Объяснение вот какое. Допустим, a+bx=c+dx, где x иррационально, a,b,c,d рациональны. Почему верно то, что a=b, c=d? Потому, что a-c=(d-b)x. Если d-b=0, то a-c=0, и всё доказано. А если не равно нулю, можно поделить, и окажется, что x=(a-c)/(d-b) арифметически выражено через рациональные числа, и тогда оно само рационально -- противоречие. По этой причине сам принцип работает, и им можно пользоваться.

(14 Ноя '17 3:22) falcao

@falcao, спасибо!

Хочу просто немного отвлечься: а как определить замкнутость числа(множества) относительно какой-то операции, в этом примере замкнуто, но а если не знать, то можно ли как-то это определить или нужно просто знать(выучить) такие вещи???

(14 Ноя '17 4:01) Романенко
1

@Романенко: "замкнутость числа" -- это нонсенс. Замкнутость множества относительно операции -- правильный словесный оборот. Если мы не знаем ответа, то процедура проверки простая. Берём два произвольных элемента из множества. Проделываем над ними операцию. Если результат всегда принадлежит этому множеству, то оно относительно операции замкнуто.

Примеры.

1) Множество чётных чисел относительно сложения: замкнуто, так как сумма чётных чисел всегда чётна.

2) Множество нечётных чисел относительно сложения: не замкнуто. Если сложить два нечётных числа, сумма нечётной не будет.

(14 Ноя '17 4:31) falcao

@falcao, спасибо, про замкнутость в прошлом комментарии ясно!

Так вот в моем примере получается: "действит.часть" + "мнимая" = 2 + sqrt(5)

Предположим от противного: 2 + sqrt(5)--это есть рациональное число , где 2 -- ясно, что действит., следовательно sqrt(5)-- рациональное

далее приравниваю: "мнимая часть(многочлен с $%y,x$% и $%t$% и целыми коэф-ми умноженными на sqrt(5))" = sqrt(5)

далее избавился от sqrt(5) в "мнимой части"

а вот, как это выглядит: https://prnt.sc/ha4nsr

Я так понял дальше нужно воспользоваться свойством замкнутости, но не понимаю как!((((

(14 Ноя '17 5:09) Романенко
1

@Романенко: я Вам дал полное доказательство принципа. Его надо прочитать и понять. Вы вместо этого снова пытаетесь что-то изобретать. Зачем? Там ошибка на ошибке. В начале нелепое предположение о рациональности 2+sqrt(5). Это примерно как если бы мы решили предположить, что 2+2=5. В конце какое-то свойство замкнутости возникло. То, что при сложении, вычитании, умножении, делении рациональных чисел снова получаются рациональные -- это общеизвестная и очевидная вещь.

(14 Ноя '17 5:15) falcao
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,189
×445

задан
11 Ноя '17 0:33

показан
372 раза

обновлен
14 Ноя '17 5:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru