|
Помогите исследовать сходимость числового ряда $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nlnn}$$ $$lim_{n\to\infty}\frac{1}{nlnn}=0$$ расходится по какому признаку? задан 3 Мар '13 16:53 
lodger |
|
Лучше, всё-таки, без нуля в знаменателе: $$\sum \limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{nlnn}.$$ Можно пользоваться интегральным признаком, сравнивая с интегралом $$\int \limits_{n=2}^{\infty}\frac{dx}{xlnx}=\int \limits_{n=2}^{\infty}d \left (ln(lnx)\right ),$$ а можно - признаком сравнения в предельной форме с расходящимся рядом $$\sum \limits_{n=2}^{\infty}\left [ln(ln(n+1)) - ln(lnn)\right ],$$ т.к. при $%n \to \infty$% $$ln(ln(n+1)) - ln(lnn) = ln \frac{ln(n+1)}{lnn} = ln \left ( 1 + \frac{ln(n+1)-lnn}{lnn} \right) = $$$$= ln \left ( 1 + \frac{ln \left ( 1+\frac{1}{n} \right )}{lnn} \right) \sim ln \left ( 1 + \frac{1}{nlnn} \right) \sim \frac{1}{nlnn}.$$ отвечен 3 Мар '13 17:03 
splen |