Приветствую!

Прошу помочь с нахождением предела последовательности $%\{x_{n}\}$%, где $%x_{n} = \frac{ \sqrt{n^{3n}} }{n!} \prod_{k=1}^n sin(\frac{k}{n^{3/2}})$%. Немного преобразовал это выражение к $%ln(x_{n}) = \sum_{k=1}^n ln(\frac{sin(\frac{k}{n^{3/2}})}{\frac{k}{n^{3/2}}})$%. Из этого я смог только заключить, что если разбить сумму $%ln(x_{n}) = \sum_{k=1}^n...$% при $%n \gg 1$% на две: $%\sum_{k=1}^m$% и $%\sum_{k=m+1}^n$%, где $%m$% какое-то фиксированное число, то первую сумму можно, используя разложение по Тейлору, привести к виду: $%\sum_{k=1}^{m}ln[1 - \frac{k^{2}}{6n^{3}} + o(\frac{k^{3}}{n^{9/2}})]\sim -\sum_{k=1}^{m}\frac{k^{2}}{6n^{3}}\sim -\frac{1}{144},$% при $%n \rightarrow \infty $%

задан 11 Ноя '17 14:20

1

@Malahai: судя по всему, как-то так и надо делать, но в конце не -1/144, а -1/18. Предел равен e^{-1/18}.

(11 Ноя '17 15:08) falcao

Не понял, должно же быть:

$%ln(x_{n}) = \ln{\frac{ \sqrt{n^{3n}} }{n!}} + \sum_{k=1}^n \ln{\sin(\frac{k}{n^{3/2}})}$%

или я опять что-то напутал?

(11 Ноя '17 15:27) abc
1

@abc: там n! разложено на отдельные множители, и sqrt(n^{3n}) тоже представлено как произведение n штук вида n^{3/2}. Одно в итоге равно другому.

(11 Ноя '17 15:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×729
×313
×61

задан
11 Ноя '17 14:20

показан
219 раз

обновлен
11 Ноя '17 15:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru