Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу: необходимо доказать, что для любого натурального $%n$% число $%(2- \sqrt{3})^n$% представимо в виде разности $%\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$% для какого-нибудь целого $%m$%.

задан 12 Ноя '17 0:37

возвращен 12 Ноя '17 16:09

falcao's gravatar image


232k3145

@Shizofrenik: Вам ответили на вопрос, изложив целых два разных решения. Вы на это взяли и удалили условие решённой задачи. Это нарушение правил форума. Я возвращаю всё на место и прошу так больше не делать.

(12 Ноя '17 16:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Проблема не актуальна". Закрывший - falcao 12 Ноя '17 16:09

0

Решим уравнение $%\sqrt{m+1}-\sqrt{m}=a$% относительно $%m$%, где $%a\in(0,1)$%. Величина в левой части обратна сумме корней, откуда $%\sqrt{m+1}+\sqrt{m}=a^{-1}$%. Тогда $%\sqrt{m}=\frac{a^{-1}-a}2$% и $%\sqrt{m+1}=\frac{a^{-1}+a}2$%. Возводя оба равенства в квадрат, имеем $%m=\frac{a^{-2}+a^2-2}4$% и $%m+1=\frac{a^{-2}+a^2+2}4$%. Второе равенство при этом следует из первого. Поэтому, если мы зададим $%m$% по такой формуле, то далее всё можно будет сделать в обратную сторону: извлечь корни, что даст предыдущие формулы ввиду $%a^{-1} > a$%, и тогда разность корней окажется равна $%a$%.

Полагая $%a=(2-\sqrt3)^n$%, что меньше 1, находим обратное число $%a^{-1}=(2+\sqrt3)^n$%. Тогда $%m=\frac{(2+\sqrt3)^{2n}+(2-\sqrt3)^{2n}-2}4=\frac{(7+4\sqrt3)^n+(7-4\sqrt3)^n-2}4$%. Это число является целым, так как при раскрытии скобок в выражении $%(7+4\sqrt3)^n$% получается $%A+B\sqrt3$% для некоторых натуральных $%A$%, $%B$%, и для $%(7-4\sqrt3)^n$% имеем $%A-B\sqrt3$%. Число $%A$% при этом нечётно, что следует из биномиальной формулы: первое слагаемое $%7^n$% нечётно, остальные делятся на 4. Значит, $%m=\frac{A-1}2$% целое.

Добавление. Вот несколько более прямое доказательство. Ясно, что $%(2-\sqrt3)^1=\sqrt4-\sqrt3$%; $%(2-\sqrt3)^2=7-4\sqrt3=\sqrt{49}-\sqrt{48}$%, и так далее. Мы видим, что для этих степеней получается $%(2-\sqrt3)^n=x_n-y_n\sqrt3=\sqrt{x_n^2}-\sqrt{3y_n^2}$%, и надо проверить по индукции, что разность двух подкоренных выражений равна 1, то есть $%x_n^2-3y_n^2=1$%.

Пусть для данного $%n$% это верно. Тогда $%(2-\sqrt3)^{n+1}=(2-\sqrt3)^n(2-\sqrt3)=(x_n-y_n\sqrt3)(2-\sqrt3)=(2x_n+3y_n)-(x_n+2y_n)\sqrt3$%, то есть $%x_{n+1}=2x_n+3y_n$%, $%y_{n+1}=x_n+2y_n$%. Тогда $%x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2=(2x_n+3y_n)^2-3(x_n+2y_n)^2=x_n^2-3y_n^2=1$%, что доказывает индукционное предположение.

ссылка

отвечен 12 Ноя '17 1:14

изменен 12 Ноя '17 15:17

Спасибо! А нельзя ли как-нибудь всё-таки использовать индукцию?

(12 Ноя '17 1:55) Shizofrenik

@Shizofrenik: можно -- с учётом того, что последовательность (2-sqrt(3)^n задаётся рекуррентно. Исходя из этого, мы знаем, какова закономерность для чисел m. Там на самом деле будет sqrt{k^2+1}-k, где k зависит от n. Но это будет искусственная подгонка под метод. Что-то новое из этого вряд ли можно извлечь, а тренироваться в применении метода лучше на более удачных примерах.

(12 Ноя '17 2:51) falcao

@falcao: Не могли бы Вы "разжевать" этот способ чуть-чуть подробнее? Я, просто, не совсем понимаю Вашу идею относительно применения индукции.

(12 Ноя '17 14:41) Shizofrenik

@Shizofrenik: здесь основная идея в том, что последовательность a(n)=(2-sqrt(3))^n удовлетворяет рекуррентному соотношению a(n+2)=4a(n+1)-a(n). Это проверяется по индукции. То же для b(n)=(2+sqrt(3))^n. Далее все интересующие нас числа выражаются через a(n) и b(n).

(12 Ноя '17 14:51) falcao

Благодарю. Сейчас попробую дорешать.

(12 Ноя '17 14:57) Shizofrenik

@Shizofrenik: я понял, что имели в виду, когда просили доказать это дело именно по индукции. Давайте я напишу небольшое добавление, чтобы проследить, как это получается без лишней возни.

(12 Ноя '17 15:09) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×79

задан
12 Ноя '17 0:37

показан
389 раз

обновлен
12 Ноя '17 16:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru