Задание звучит следующим образом: Найти порядок подгруппы H группы S5, порождённой подстановками (12),(23) и (24). Вычислить её центр Z(H). Собственно вопрос в том, есть ли какой-то нормальный метод нахождения порядка этой подгруппы, кроме как простое перемножение этих? И, если это группа не коммутативна, то, получается, что ее центр - только тождественная перестановка, верно?

задан 12 Ноя '17 16:44

Маленькое замечание: некоммутативности подгруппы в общем случае не достаточно для заключения о тривиальности её центра. Скажем, в группе симметрий квадрата есть центральная симметрия, которая со всеми элементами коммутирует.

(12 Ноя '17 17:18) falcao

Хмм... Не очень понял, почему "через данные образующие мы умеем выражать все транспозиции без участия символа 5" Можете, пожалуйста, чуть-чуть поподробнее объяснить этот переход?

(12 Ноя '17 17:30) hazir

@hazir: я дал явную формулу для выражения (ab), где a,b -- любые символы из числа 1, 3, 4. То есть (13), (14), (34) выразимы. Транспозиции с участием двойки нам изначально даны. Значит, все транспозиции на 4 символах у нас есть, а они порождают S4.

(12 Ноя '17 17:47) falcao

Спасибо большое!

(12 Ноя '17 18:33) hazir
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если система порождающих устроена просто, то можно что-то заключить из общих соображений. Здесь символ 5 остаётся на месте, и можно менять местами 2 с любым из остальных символов кроме 5. Тогда любые два символа можно поменять, переставив их с двойкой. Формально: если a, b -- какие-то символы из числа 1, 3, 4, то (2a)(2b)=(2ab). Подстановки я умножаю слева направо. Далее (2a)(2b)(2a)=(2ab)(2a)=(ab), то есть через данные образующие мы умеем выражать все транспозиции без участия символа 5. А они порождают подгруппу, изоморфную S4. Её порядок равен 24, а центр тривиален.

Если бы получилась не симметрическая подгруппа, а какая-то другая, то центр мог быть и нетривиален. Также если бы порождающие выглядели сложнее, то могла бы возникнуть необходимость что-то перемножать. Иногда бывает возможно использовать косвенные соображения. На форуме была задача такого типа, где через образующие быстро выражались элементы порядков 3, 4 и 5. Из этого уже следовало, что порядок подгруппы делится на 60. Тогда это либо A5, либо S5. Если все данные в условии подстановки чётны, это даёт первый случай. Но цикл длиной 4 нечётен, и получается вся симметрическая группа.

Для подстановок сложного типа есть соответствующие вычислительные пакеты типа GAP -- там всё может быть сложно, и надо строить подграф.

ссылка

отвечен 12 Ноя '17 17:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,544
×869
×63

задан
12 Ноя '17 16:44

показан
1626 раз

обновлен
12 Ноя '17 18:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru