|
В трапеции $%ABCD$% меньшее основание $%BC$% равно боковым сторонам, $%CH –$% высота. $%P –$% основание перпендикуляра, опущенного с точки $%H$% на прямую $%AC$%. Найдите отношение, в котором диагональ $%BD$% делит отрезок $%PH$%. Оригинал:
задан 12 Ноя '17 22:51 
Роман83 |
|
У меня тоже получается, что это отношение может принимать разные значения. В самом деле, пусть ф -- угол между диагональю и основанием. Из того, что меньшее основание равно боковой стороне, следует, что диагонали будут биссектрисами углов при большем основании. То есть они делят углы на две части, обе из которых равны ф. Далее, угол при H в треугольнике CHP также равен ф. Пусть K -- точка пересечения BD и PH. Мы установили, что углы KHC и KDC равны ф. Тогда около KHDC можно описать окружность по обратному свойству вписанного угла. Поскольку CHD прямой, угол CKD также прямой. Значит, K -- середина BD (высота равнобедренного треугольника). Угол KCH равен KDH по свойству вписанных углов, то есть это тоже ф. Отсюда KH=KC, и нам надо найти отношение PK:KC, а это синус угла PCK, равный cos(2ф). Ясно, что угол ф переменный, то есть отношение также не является постоянным. отвечен 13 Ноя '17 0:43 
falcao |
Как-то маловато данных... в зависимости от величины высоты трапеции искомое отношение может принимать значения от 0 до 1 (не включая границы)...