G = {a1,...,an} - абелева группа с порядком n.

Доказать, что (a1 ····· an) ^ 2 = e, где e нейтральный элемент.

задан 13 Ноя '17 2:36

10|600 символов нужно символов осталось
0

Точнее говорить "группа ПОРЯДКА n".

Пусть группа циклическая. Тогда она состоит из элементов e,g,g^2,...,g^{m-1}, где m -- порядок элемента g. Произведение всех элементов равно g^k, где k=1+2+...+(m-1)=(m-1)m/2. Квадрат произведения равен (g^m)^{m-1}=e.

Теперь распространим этот факт на прямые произведения конечных абелевых групп. Пусть для групп G и H утверждение доказано. Произведение всех элементов прямого произведения, то есть упорядоченных пар, есть произведение элементов G в степени |H|, умноженное на произведение всех элементов H, возведённое в степень |G|. Если дополнительно возвести в квадрат, то получится e^{|H|}e^{|G|}=e.

Ввиду того, что всякая конечная абелева группа есть произведение циклических, данный факт сразу вытекает из сказанного выше.

ссылка

отвечен 13 Ноя '17 3:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,253
×1,192
×883
×395

задан
13 Ноя '17 2:36

показан
308 раз

обновлен
13 Ноя '17 3:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru