Упростите: $$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^m\left(-\dfrac12\right)^kC_m^{k}C_{2k}^{k}$$

задан 17 Ноя '17 3:03

изменен 18 Ноя '17 0:18

falcao's gravatar image


215k1742

10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Проблема не актуальна". Закрывший - falcao 18 Ноя '17 0:18

2

Воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора при разных значениях параметра: $$(1+t)^a=1+C_a^1t+C_a^2t^2+\cdots+C_a^nt^n+\cdots.$$

При $%a=-\frac12$% и замене $%t\mapsto-4x$% получится $%(1-4x)^{-1/2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}C_{2n}^nx^n$%. Это следует из того, что $%C_{-\frac12}^n=\frac{(-\frac12)(-\frac32)\ldots(-\frac{2n-1}2)}{n!}=(-1)^n\frac{1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2^n}=(-1)^n\frac{(2n)!}{4^nn!^2}=(-1)^n\frac{C_{2n}^n}{4^n}$%.

Далее, при $%a=-(k+1)$% получается хорошо известное разложение $%\frac1{(1-t)^{k+1}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty}C_{k+l}^lt^l$%, что можно доказать многими способами (в частности, последовательным дифференцированием).

Домножая выражение из условия на $%t^m$% и суммируя по $%m\ge0$%, имеем $$\sum\limits_{m=0}^{\infty}\sum_\limits{k=0}^mC_m^kt^{m-k}C_{2k}^k\left(-\frac{t}2\right)^k.$$

Меняя порядок суммирования и вводя новую переменную $%l=m-k\ge0$%, преобразуем сумму к виду $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}C_{2k}^k\left(-\frac{t}2\right)^k\sum\limits_{l=0}^{\infty}C_{k+l}^kt^l.$$

С учётом одной из указанных выше формул, это даёт $$\frac1{1-t}\sum\limits_{k=0}^{\infty}C_{2k}^k\left(\frac{-t}{2(1-t)}\right)^k=(1-t)^{-1}\left(1+\frac{2t}{1-t}\right)^{-1/2}=(1-t^2)^{-1/2}.$$

Мы домножали на $%t^m$% то выражение, которое требовалось упростить. Значит, сейчас мы можем посмотреть на коэффициент при $%t^m$% в разложении правой части. Подставляя $%x=\frac{t^2}4$% в формулу из третьей строки, видим, что при нечётном $%m$% коэффициент равен нулю, а при чётном $%m=2n$% коэффициент принимает значение $$\frac{C_{2n}^n}{4^n}=\frac{C_m^{m/2}}{2^m}.$$

ссылка

отвечен 17 Ноя '17 3:40

@falcao,простите пожалуйста, не знал,больше такого не повтопится

(18 Ноя '17 0:18) Kot
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×612

задан
17 Ноя '17 3:03

показан
163 раза

обновлен
18 Ноя '17 0:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru