При каких натуральных $%n$% можно разрезать квадрат на $%n$% «флагов», то есть, на $%n$% прямоугольников (не обязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой?

задан 18 Ноя '17 1:36

2

@Аллочка Шакед: квадрат со стороной n имеется в виду?

(18 Ноя '17 2:39) falcao
1

@falcao, почему? Просто квадрат :) Длина стороны разве имеет значение?

(18 Ноя '17 12:32) Аллочка Шакед
2

@Аллочка Шакед: я сначала подумал, что если длина стороны не задана, то годится любой квадрат с чётной стороной, и его можно разрезать на доминошки. Это слишком просто. Значит, подумалось мне, мы квадрат nxn, где n чётно, хотим разрезать на n флагов. Такая задача вполне разумна: скажем, 2x2 можно, 4x4 нет, 6x6 можно, а дальше я не проверял.

У Вас, как я понимаю, n дано, и надо какой-нибудь квадрат сложить из n флагов. Это совсем другая задача.

(18 Ноя '17 14:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Для начала ответ: при всех n кроме 1, 3, 4.

То, что одним флагом не обойтись, очевидно. То, что двумя можно, также очевидно. Отметим, что если есть конструкция для n, то она есть и для n+3. В самом деле, любой флаг можно разрезать на 4 равных флага, что увеличивает их общее число на 3.

Верно также то, что от n можно перейти к n+4. В самом деле, рассмотрим покрытие клетчатого квадрата 3x3 без его центра четырьмя доминошками. Теперь представим себе, что в центре у нас имеется квадрат, сложенный из n флагов. Мы теперь к нему добавили 4 штуки.

Проверим, что 3 или 4 флага не позволяют сложить квадрат. Если флагов три, то они занимают не все 4 угла. Значит, какой-то из низ занимает два. Это значит, что квадрат разрезан на два прямоугольника. Пусть разрез вертикален. Будем рассматривать отношение длины к ширине (высоте). Для одного флага отношение равно 1/2 или 2. При соединении двух, отношения суммируются, и могут принимать значения 1, 5/2, 4. При развороте на 90 градусов к ним добавляются значения 1/4 и 2/5. Ясно, что при сложении элементов из множеств {1/2,2} и {1/4,2/5,1,5/2,4} не может получиться 1. Это доказывает, что случай n=3 не проходит. Попутно мы описали все отношения двух измерений прямоугольников, сложенных из двух или трёх флагов.

Рассмотрим случай n=4. Если какой-то флаг занимает сразу два угла квадрата, то последний сложен из одного флага, где отношение меньшего к большему равно 1/2, и прямоугольника, сложенного из трёх флагов. Тогда для последнего отношение также должно быть 1/2, чтобы получился квадрат. Но это отношение равно сумме элементов двух множеств, элементы которых мы выписали. В первом из них наименьшее число равно 1/2, и в итоге оказывается, что 1 никак не получить.

Случай, когда в каждом из четырёх углов квадрата расположен свой флаг, а всего их 4, всё равно ведёт к конструкции, которая "распадается" на два прямоугольника, а она уже, фактически, исследована. Надо только заметить, что если каждый такой прямоугольник сложен из двух флагов, то отношения в сумме не могут давать 1.

Приведём теперь пример для n=7. Сложим из 7 флагов квадрат 6x6. Отрезаем 6x3, и вторую такую же половину составляем из 6 флагов. Её разрезаем на части 6x1 и 6x2. Первая состоит из трёх "доминошек". Вторая разрезается на флаг 4x2 и квадрат 2x2 из двух "доминошек".

Этого достаточно, так как "скачками" на 3 или 4 от числа 2 мы достигаем значений 5 и 6. Для 7 пример построен, и дальше достаточно "скачков" на величину 3.

Дополнительно можно указать отдельный пример для n=6, который получается "стыковкой" двух прямоугольников, то есть более простой конструкцией. Действительно, пример трёх флагов для 6x2 уже указан, и его "стыкуем" с 6x4, где берутся три флага 2x4, собранных вместе.

В заключение -- результаты небольшого компьютерного подсчёта. Если применять только "стыковочные" варианты, то есть составлять новый прямоугольник из двух, склеенных по стороне, то различных вариантов отношений сторон при 1<=n<=8 получается столько, сколько указано в последовательности 2, 5, 16, 56, 221, 841, 3449, 14439. Здесь симметричные варианты типа 1x2 и 2x1 считаются разными, так как в таком виде проще считать. В oeis она не зарегистрирована.

ссылка

отвечен 19 Ноя '17 0:28

1

@falcao, преогромное Вам спасибо!

Красивая задача, не правда ли?

(19 Ноя '17 3:01) Аллочка Шакед
2

@Аллочка Шакед: да, задача хорошая! Я когда как следует вдумался в условие, то мне очень понравилось. Тут хорошо соединились геометрическая и арифметическая сущности задачи, в результате чего удалось "индустриализировать" перебор вариантов. Причём это всё можно обобщать на случаи типа 1:3 или 2:3.

(19 Ноя '17 10:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,401
×1,116
×370
×310
×150

задан
18 Ноя '17 1:36

показан
590 раз

обновлен
19 Ноя '17 10:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru