а) Существует ли 100-значное число без нулей, делящееся на сумму своих цифр?

б) Существует ли 101-значное число без нулей, делящееся на сумму своих цифр?

в) Существует ли 2017-значное число без нулей, делящееся на сумму своих цифр?


а) Думаю, что если записать число 1125 без пробелов подряд 25 раз, то мы получим 100-значное число без нулей, сумма цифр которого будет равна 225, а само число тоже будет делиться на 225, так как число 1125 делится на 225.

б) Тут можно действовать похожим способом, но пойти на небольшое ухищрение. Записать число 2625 без пробелов подряд 24 раза, а затем приписать справа число 11625. Мы получим 101-значное число без нулей, сумма цифр которого будет равна 375, а само число тоже будет делиться на 375, поскольку и число 2625, и число 11625 делятся на 375.

в) А вот в третьем пункте уловка, сработавшая в двух предыдущих, даёт, по-моему, сбой.

Пожалуйста, помогите решить.

задан 19 Ноя '17 3:04

изменен 19 Ноя '17 3:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

в) Для начала загадаем какое-нибудь удачное число в качестве суммы цифр. Степень удачности оценивается по тому признаку, чтобы было относительно легко обеспечить делимость на такое число. Возьмём 2025. Это 81 умножить на 25. Поставим 25 в конце нашего числа, и будем думать о делимости на 81.

Если помимо 25 в конце, будут одни единицы в количестве 2015 штук, то сумма цифр равна 2022. Увеличим её на 3, поставив куда-то цифру 3 и куда-то цифру 2 вместо единиц. Останется показать, что при удачном выборе их позиций число будет делиться на 81. Поставим эти цифры рядом, и будем искать такое место, чтобы на 81 делилось число 1...1321...125.

При помощи некоторых вычислительных манипуляций можно установить, что 2017-значное число 1...125 при делении на 81 даёт в остатке 6. При этом не обязательно использовать факты типа теоремы Эйлера. Достаточно использовать признак делимости на 9: если число делится на 9, то можно явно найти частное при помощи деления "столбиком"; из-за периодичности, его делимость на 9 также можно установить. Теперь достаточно найти такое k, чтобы число 21x10^k (именно его мы прибавляем), сложенное с 6, делилось на 81. Это равносильно делимости на 27 числа 7x10^k+2. Степени 10 при делении на 27 дают остатки 1, 10, 19 с периодом 3, так как 10^3-1 делится на 27. Понятно, что 19 здесь подходит, и тогда k должно давать остаток 2 при делении на 3. Значит, цифры 32 можно поставить перед 25, и окажется, что число 111...1113225 делится на 2025.

Последнее, кстати, легко проверятся непосредственно. Делимость на 25 имеет место. Вычитая 2025, имеем число, про которое надо проверить, что оно делится на 81. Два нуля в конце списываем, и получаем 111...12 из 2015 знаков. Сумма цифр делится на 9. Далее при делении "столбиком" получается 123456790, повторённое несколько раз, и в конце 1234568. Частное здесь 2014-значно, что отслеживается в процессе деления, либо может быть заключено из общих соображений. Тогда периодическая секция 123456790 повторяется 223 раза, а у суммы этих цифр остаток от деления на 9 равен 1. У 7-значного числа в конце остаток равен 2, и всё вместе даёт число, кратное 9.

Наверное, с суммой цифр 2187 также возможен пример.

ссылка

отвечен 19 Ноя '17 12:28

1

@falcao, большое спасибо!

Мне тут подсказали ещё боле простое решение. Оно, наверное, вообще годится для любозначного числа, а не только 2017-значного:

Пишем число из 2017 единичек, затем первые (слева) 26 единичек заменяем на двоечки, а вместо последних 11 единичек пишем вот эти 11 цифр: 11212122112. Сумма цифр будет 2048, делимость тоже будет, так как число, образованное последними 11-ю цифрами делится на 2048.

(19 Ноя '17 17:59) Аллочка Шакед

@Аллочка Шакед: да, это технически проще, конечно. Я-то как раз почему-то избегал чётных чисел, а для них всё контролируется намного легче. Ещё для 3125 всё получается, где окончание 53125 не надо подбирать. Остальные цифры просто "догоняются" до нужного значения суммы, что всегда возможно. Хотя тот факт, что можно составить число из 1 и 2, делящееся на степень 2, следует из достаточно общих соображений.

(19 Ноя '17 18:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,073
×1,043
×337
×273
×147

задан
19 Ноя '17 3:04

показан
525 раз

обновлен
19 Ноя '17 18:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru