Найти область сходимости и равномерной сходимости в указанном промежутке: $$\Sigma_{n\geq1}sin\frac{1}{nx}sin^2\frac{nx}{n^3 +x}, \space x\in(0, \infty)$$

задан 19 Ноя '17 13:33

При всяком x > 0 ряд сходится, причём абсолютно. Достаточно применить неравенства вида |sin t|<=|t|, и далее -- признак сравнения. Это даст область сходимости. Что касается "области равномерной сходимости", то непонятно, что это такое. Если это область, на которой ряд сходится равномерно, то таких областей может быть много.

Думаю, что задача не совсем корректно поставлена. Можно вместо этого задать вопрос, сходится ли ряд равномерно на указанном множестве (этого не сделали, видимо, опасаясь давать "подсказку"). И если нет, то тот же вопрос задать для множеств вида q<=x, где q > 0.

(19 Ноя '17 14:12) falcao

@falcao а как понять, сходится ли ряд равномерно на этом промежутке? Есть какой-то признак?

(19 Ноя '17 15:47) HobbitSmobbit
10|600 символов нужно символов осталось
0

Признаков довольно много -- как в ту, так и в другую сторону. Все они упоминаются в учебниках.

Первым делом можно попытаться применить признак Вейерштрасса. Если это проходит, то ряд сходится равномерно. Здесь после применения неравенств вида $%|\sin t|\le|t|$% получается оценка сверху для модуля $%n$%-го члена ряда в виде $%\frac1{nx}\cdot\frac{(nx)^2}{(n^3+x)^2}=\frac{nx}{(n^3+x)^2}$%. Теперь можно воспользоваться известным неравенством $%(a+b)^2\ge2ab$%, которое даёт $%(n^3+x)^2\ge2n^3x$%. Для обратных величин неравенство будет выполняться в другую сторону, и получится оценка $%\frac{nx}{(n^3+x)^2}\le\frac{nx}{2n^3x}=\frac1{2n^2}$%. Такой ряд сходится, и его члены не зависят от $%x$%, то есть по признаку Вейерштрасса мы имеем абсолютную и равномерную сходимость ряда из условия на всём множестве $%(0;\infty)$%.

Тем самым, вопрос об "области равномерной сходимости", которая в общем случае непонятно что означает, снимается. Если этот приём не работает (в других задачах так может быть), но можно пробовать искать контрпример. Бывает так, что при данном $%n$% удаётся найти $%x$% из области, зависящее от $%n$%, для которого $%n$%-й член ряда не стремится к нулю. Такое условие достаточно для расходимости. Но могут быть и какие-то более "изощрённые" примеры.

ссылка

отвечен 19 Ноя '17 16:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×629
×334
×25

задан
19 Ноя '17 13:33

показан
253 раза

обновлен
19 Ноя '17 16:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru