Как найти предел у такой функциональной последовательности и исследовать на равномерную сходимость?

$$f_n(x) = n(x^{1/n}-x^{1/(2n)}) \space , \space E = (0, \infty)$$

задан 19 Ноя '17 14:10

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%x^{1/n}=e^{\ln x/n}=1+\ln x/n+o(1/n)$%

$%x^{1/(2n)}=1+\ln x/(2n)+o(1/n)$%

$%n(x^{1/n}-x^{1/(2n)})=\ln x/2+o(1)$% стремится поточечно к $%f(x)=\ln x/2$%.

Равномерной сходимости не будет, так как при любом $%n$%, если устремить $%x$% к нулю справа, то $%f_n(x)\to0$%, но $%f(x)\to-\infty$%. (Для случая равномерной сходимости, $%\sup_{x > 0}|f_n(x)-f(x)|$% должно быть величиной, стремящейся к нулю при $%n\to\infty$%, а здесь $%\sup$% даже не ограничен сверху.)

ссылка

отвечен 19 Ноя '17 14:30

@falcao а как получилось вот это? $$n(x^{1/n}−x^{1/(2n)})=lnx/2+o(1)$$

(19 Ноя '17 15:32) benevanson
1

@benevanson: из первой формулы вычли вторую и умножили на n. При этом используется то, что (1/n-1/(2n))=1/(2n). После умножения получится 1/2. Логарифм пребывает сам по себе. Умножение o(1/n) на n даёт o(1). То есть тут всё вполне предсказуемо и ожидаемо.

(19 Ноя '17 16:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,062
×290
×229

задан
19 Ноя '17 14:10

показан
443 раза

обновлен
19 Ноя '17 16:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru