Пусть n – натуральное число. На плоскости построены n окружностей таким образом, что любые две из них пересекаются в двух точках, и никакие три не имеют ни одной общей точки. На сколько частей делят плоскость эти окружности?

Задача решается методом мат индукции

задан 19 Ноя '17 18:58

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть даны k окружностей, и для них число частей известно. Проводим новую, (k+1)-ю окружность. Она пересекает каждую из имеющихся окружностей в двух точках. Итого получается 2k точек на окружности, они все попарно различны. Они разбивают окружность на 2k дуг, и каждая такая дуга разрезает одну из имеющихся частей на две. Общее число частей увеличивается на 2k. Отсюда получается рекуррентная формула S(k+1)=S(k)+2k, где S(1)=2.

Получается последовательность 2, 4, 8, 14, 22, ... . Нужно найти закономерность, а потом доказать формулу по индукции. Если отовсюду вычесть 2, то будет 0, 2, 6, 12, 20, ... , и тут легко угадываются произведения двух последовательных чисел: (n-1)n.

Гипотеза: S(n)=n^2-n+2. Проверяем, что S(1)=2, предполагаем, что S(k)=k^2-k+2 при фиксированном k, и далее S(k+1)=S(k)+2k=k^2+k+2=k(k+1)+2=(k+1)^2-(k+1)+2, что и требовалось.

ссылка

отвечен 19 Ноя '17 19:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×79

задан
19 Ноя '17 18:58

показан
708 раз

обновлен
19 Ноя '17 19:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru