0
1

http://webmath.exponenta.ru/mege/do/c5/01.html Решение и задание по ссылке. Прорешиваю различные варианты C5 и в данном варианте задания не понимаю следующее: посмотрите на пункты 2,3 и 4 - я не понимаю почему их принцип решения отличается.

В 3 пункте мы рассматриваем два варианта аргумента (подставляем в функцию)-2 и 2, потом анализируем значения и смотрим где получится 6, но ведь мы могли сделать это способом, который использовался во 2 пункте просто подставив выраженную через а вершину по абсциссе (т.е. 2-2а>=6, в системе с промежутком -2<=a<=2 получим ответ a=-2, а a=0 потеряем). Так как определить где какой способ использовать из пунктов 2,3 и 4?

задан 8 Мар '13 12:49

перемечен 6 Апр '14 13:19

kirill1771's gravatar image


5.4k628

10|600 символов нужно символов осталось
3

Предлагаю рассмотреть другое решение -- более короткое, без привлечения графиков, и с минимумом вычислений.

Я рассуждал следующим образом. Функция имеет вид $%f(x)=(2x+a)^2-2a+2$%, при этом $%x\in M$%, где $%M=[-3,-1]\cup[1,3]$%. Вопрос задачи можно сформулировать так: при каких значениях $%a$% неравенство $%f(x)\ge6$% будет выполнено для всех $%x\in M$%?

Сделаем замену переменной, полагая $%t=2x+a$%. Условие $%x\in M$% примет вид $%t\in[a-6,a-2]\cup[a+2,a+6]$%, а неравенство $%f(x)\ge6$% превратится в $%t^2\ge2a+4$%.

Ясно, что все значения $%a\le-2$% подойдут, так как при этом $%t^2\ge0\ge2a+4$%. Далее будем исследовать только случай $%a>-2$%. Тогда отрезок $%[a+2,a+6]$% относится к неотрицательной полуоси, и функция $%t^2$% принимает на нём наименьшее значение при $%t=a+2$%. Неравенство $%(a+2)^2\ge2a+4$% равносильно $%a(a+2)\ge0$%, то есть $%a\ge0$% в наших предположениях. Будем далее считать, что оно выполнено.

Рассмотрим три случая.

1) $%a\le2$%. Здесь отрезок $%[a-6,a-2]$% содержится в $%(-\infty,0]$%, и достаточно рассмотреть значение функции $%t^2$% при $%t=a-2$%. Тогда $%(a-2)^2\ge2a+4$%, то есть $%a(a-6)\ge0$%. Из значений $%a\ge0$% в пределах данного случая подходит только $%a=0$%.

2) $%a\ge6$%. Здесь $%[a-6,a-2]\subseteq[0,\infty)$%, и достаточно рассмотреть неравенство $%(a-6)^2\ge2a+4$%. Оно имеет вид $%a^2-14a+32\ge0$%, то есть $%(a-7)^2\ge17$%. Значит, $%a\le7-\sqrt{17}$% или $%a\ge7+\sqrt{17}$%. В пределах рассматриваемого случая подходит только второе, то есть $%a\in[7+\sqrt{17},\infty)$%.

3) $%2< a<6$%. В данном случае $%0\in[a-6,a-2]$%, и потому должно быть $%0^2\ge2a+4$%, но это невозможно.

Собирая все найденные значения параметра, получаем ответ: $%a\in(-\infty,-2]\cup\{0\}\cup[7+\sqrt{17},\infty)$%.

ссылка

отвечен 8 Мар '13 13:49

Спасибо. Интересный способ.

(8 Мар '13 14:39) XAegis
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%f(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2=4(x+\frac{a}{2})^2-2a+2.$% Далее нужно рассмотреть варианты:

1) $%-\frac{a}{2}\in [-3;-1];$%

2) $%-\frac{a}{2}\in [1;3];$%

3) $%-\frac{a}{2}\in (-1;1);$%

4) $%-\frac{a}{2}\in (-\infty;-3);$%

5) $%-\frac{a}{2}\in (3;+\infty).$%

В 1) и 2) вариантах наименьшее значение достигается в точке $%-\frac{a}{2}$%. В остальных случаях - на концах отрезков $%[-3;-1]$% и $%[1;3].$%

ссылка

отвечен 8 Мар '13 13:28

Согласен. Думал об этом способе, но не пробовал. Спасибо.

(8 Мар '13 14:43) XAegis
10|600 символов нужно символов осталось
0

$% f(x) = 4x^2+4a*x+a^2-2a+2 $%

$%df/dx= 8x+4a$%

$%df/fx=0$%; $%8x+4a=0$%; $%2x+a=0$%; $%x=-a/2$%

Парабола ветвями вверх, одна точка минимума.

$$f(-a/2) = a^2-2a^2+a^2-2a+2 = -2a+2$$

Осталось найти a при которых больше 6

$%-2a+2>=6$%; $%-2a>=4$%; $%a<=-2$%

На множестве x из $%(-3,-1)$% объединить с $%(1,3)$% на таком множестве, потому что функция принимает свой минимум в точке $%-a/2$% по оси абцисс Ox

$%f(-a/2)=-2a+2$% то есть точка параболы $%(-a/2,-2a+2)$% - точка минимума

то есть $%1<=-a/2<=3$%; $%-3<=-a/2<=-1$%; $%-6<=a<=-2$%

и $%-3<=-a/2<=-1$%

$%-6<=-a<=-2$%; $%2<=a<=6$%

Ответ $%-6<=a<=-2$%

Согласен там была ошибка в вычислениях, я картошку варил.

Если так тогда нужно так решать,

$$min[-2a+2,4+4a+a^2-2a+2,4 умножить 9+4a умножить 3+a^2-2a+2,4-4a+a^2-2a+2,4 умножить 9-4 умножить 3a+a^2-2a+2]>=6$$

$$min[-2a+2,a^2+2a+6,36+12a+a^2-2a+2=a^2+10a+38,a^2-6a+6,36-12a+a^2-2a+2=a^2-14a+38]>=6$$

$$min[-2a+2,a^2+2a+6,a^2+10a+38,a^2-6a+6,a^2-14a+38]>=6$$

$$min[-2a+2,f(a=1),f(a=3),f(a=-1),f(a=-3)]>=6$$

Можно рассмотреть, как функцию двух переменных

$%f(x,y)=4x^2+4yx+y^2-2y+2 где 1<=|x|<=3$% y - произвольное

в сечении плоскости $%y=a$%

по y переменной эта функция линейна, по x парабола

В принципе @Anatoly правильно ответил.

$%-a/2<-3$% минимум в $%f(-3) =36-12a+a^2-2a+2=a^2-14a+38>=6 $%

$%a^2-14a+32>=0$%; $%a=7+-sqrt(17)$%; $% a<=7-sqrt(17)$%; $%a>=7+sqrt(17)$%

$%a>6$%

Здесь ответ будет $%a>=7+sqrt(17)$%

$%1<=|a/2|<=3$% здесь ответ будет $%-6<=a<=-2$%

$%-a/2>3$% минимум в $%f(3)=36+12*a+a^2-2a+2=a^2+10a+38>=6$%

корней нет, всюду положительна то есть $%a<-3/2$%

и последнее $%-1<=-a/2<=1 $%; $% min[f(-1),f(1)]>=6$%

$$4-4a+a^2-2a+2 = a^2-6a+6 $$

$$min[a^2-6a+6,4+4a+a^2-2a+2=6+2a+a^2]>=6$$

$$min[a^2-6a+6,a^2+2a+6]>=6$$

$%a<=-2$%; $%a=0$%; $%a>=6$%; и $%a>=-2$%; $%a<=2$%

Ответ $%a=-2$%

Подводим итог

$%a=-2$%; $%-6<=a<=-2$%; $%a>=7+sqrt(17)$%; $%a<=-3/2$%

то есть $%a<=-3/2$%; $%a>=7+sqrt(17)$%

ссылка

отвечен 10 Мар '13 2:52

изменен 11 Мар '13 10:16

Deleted's gravatar image


126

Это ошибочное решение. Дело в том, что абсцисса вершины параболы может не принадлежать объединению отрезков $%[-3,-1]\cup[1,3]$%, поэтому нельзя утверждать, что значение функции в этой точке должно быть больше либо равно $%6$%. Кроме того, здесь от неравенства $%-2a\ge4$% перешли к неравенству $%a\ge-2$%, а должно быть $%a\le-2$%.

(10 Мар '13 3:01) falcao

Кстати не всегда если неравенство умножить на -1 то знак неравенства поменяется.

например |x|>|sin(x)|

при x>0 sin(x)<x при x<0 -sin(x)<-x

Вот такой пример

Если умножим -sin(x)<-x на -1

получим sin(x)>x что неверно

(10 Мар '13 3:36) artem00

Если верно неравенство $%a > b$%, то верно неравенство $%-a < -b$%, и наоборот. Никаких исключений из этого правила нет. Вы рассматриваете неравенство $%-\sin x < -x$% при отрицательных значениях $%x$%. Оно для этих значений верно. Если его умножить на $%-1$% со сменой знака, то получится неравенство $%\sin x > x$%, что, вне всякого сомнения, верно при тех же ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ значениях $%x$%. Просто посмотрите на графике: что расположено выше на отрицательной полуоси -- график функции $%y=x$% или синусоида? Или возьмите точку $%x=-\pi$%. Ясно, что $%0 > -\pi$%.

(10 Мар '13 3:56) falcao

Согласен, значит уже пора отдохнуть голове, я вечером просыпаюсь она у меня раскалывается от боли. Помогает только кофе.

(10 Мар '13 4:00) artem00

Вы потом проверьте на свежую голову, и проанализируйте все ошибки. Это очень полезно -- уметь их у себя находить. Скажем, можно взять значения $%a=-10$% или $%a=12$% для примера, и убедиться, что они подходят. А у Вас они в ответ не вошли, потому что Вы рассмотрели только случай, когда абсцисса вершины параболы удовлетворяет условию $%1\le|x|\le3$%. Но она может и не удовлетворять!

(10 Мар '13 4:28) falcao

a=-10 f(x) = 4x^2+4ax+a^2-2a+2 f(-10) = 4x^2-40x+100-20+2 4x^2-40x+82

f'=8x-40 f'=0 x=40/8 =20/4=10/2=5

f(5)=4 умножить 25-40 умножить 5+82=100-200+82=-100+82=-18<6

а не больше

(10 Мар '13 4:57) artem00

Во-первых, там не $%-18$%, а $%22$% должно быть, так как $%a=-10$% подставляется в выражение $%-2a+2$%. Во-вторых, число $%5$% здесь вообще не принадлежит тому множеству, на котором рассматривается наименьшее значение. Судя по всему, Вы не так поняли условие задачи. Рассматривается функция $%f(x)$% не на всей числовой прямой, а только на множестве $%1\le|x|\le3$%. Именно на нём берётся наименьшее значение, и оно должно быть больше либо равно $%6$%. Такой пример: у функции $%y=x^2$% на всей прямой наименьшее значение равно нулю, но при ограничениях на $%x$% оно равно $%1$%.

(10 Мар '13 5:11) falcao

a=12 -2*12+2=-24+2=-22<6

(10 Мар '13 5:29) artem00

А если взять -10, то 5 не будет лежать в 1<=|x|<=3 то есть оно не подходит

(10 Мар '13 5:39) artem00
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,082
×3,271
×297
×237

задан
8 Мар '13 12:49

показан
1993 раза

обновлен
6 Апр '14 13:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru