|
http://webmath.exponenta.ru/mege/do/c5/01.html Решение и задание по ссылке. Прорешиваю различные варианты C5 и в данном варианте задания не понимаю следующее: посмотрите на пункты 2,3 и 4 - я не понимаю почему их принцип решения отличается. В 3 пункте мы рассматриваем два варианта аргумента (подставляем в функцию)-2 и 2, потом анализируем значения и смотрим где получится 6, но ведь мы могли сделать это способом, который использовался во 2 пункте просто подставив выраженную через а вершину по абсциссе (т.е. 2-2а>=6, в системе с промежутком -2<=a<=2 получим ответ a=-2, а a=0 потеряем). Так как определить где какой способ использовать из пунктов 2,3 и 4? задан 8 Мар '13 12:49 
XAegis |
|
Предлагаю рассмотреть другое решение -- более короткое, без привлечения графиков, и с минимумом вычислений. Я рассуждал следующим образом. Функция имеет вид $%f(x)=(2x+a)^2-2a+2$%, при этом $%x\in M$%, где $%M=[-3,-1]\cup[1,3]$%. Вопрос задачи можно сформулировать так: при каких значениях $%a$% неравенство $%f(x)\ge6$% будет выполнено для всех $%x\in M$%? Сделаем замену переменной, полагая $%t=2x+a$%. Условие $%x\in M$% примет вид $%t\in[a-6,a-2]\cup[a+2,a+6]$%, а неравенство $%f(x)\ge6$% превратится в $%t^2\ge2a+4$%. Ясно, что все значения $%a\le-2$% подойдут, так как при этом $%t^2\ge0\ge2a+4$%. Далее будем исследовать только случай $%a>-2$%. Тогда отрезок $%[a+2,a+6]$% относится к неотрицательной полуоси, и функция $%t^2$% принимает на нём наименьшее значение при $%t=a+2$%. Неравенство $%(a+2)^2\ge2a+4$% равносильно $%a(a+2)\ge0$%, то есть $%a\ge0$% в наших предположениях. Будем далее считать, что оно выполнено. Рассмотрим три случая. 1) $%a\le2$%. Здесь отрезок $%[a-6,a-2]$% содержится в $%(-\infty,0]$%, и достаточно рассмотреть значение функции $%t^2$% при $%t=a-2$%. Тогда $%(a-2)^2\ge2a+4$%, то есть $%a(a-6)\ge0$%. Из значений $%a\ge0$% в пределах данного случая подходит только $%a=0$%. 2) $%a\ge6$%. Здесь $%[a-6,a-2]\subseteq[0,\infty)$%, и достаточно рассмотреть неравенство $%(a-6)^2\ge2a+4$%. Оно имеет вид $%a^2-14a+32\ge0$%, то есть $%(a-7)^2\ge17$%. Значит, $%a\le7-\sqrt{17}$% или $%a\ge7+\sqrt{17}$%. В пределах рассматриваемого случая подходит только второе, то есть $%a\in[7+\sqrt{17},\infty)$%. 3) $%2< a<6$%. В данном случае $%0\in[a-6,a-2]$%, и потому должно быть $%0^2\ge2a+4$%, но это невозможно. Собирая все найденные значения параметра, получаем ответ: $%a\in(-\infty,-2]\cup\{0\}\cup[7+\sqrt{17},\infty)$%. отвечен 8 Мар '13 13:49 
falcao Спасибо. Интересный способ.
(8 Мар '13 14:39)
XAegis
|
|
$%f(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2=4(x+\frac{a}{2})^2-2a+2.$% Далее нужно рассмотреть варианты: 1) $%-\frac{a}{2}\in [-3;-1];$% 2) $%-\frac{a}{2}\in [1;3];$% 3) $%-\frac{a}{2}\in (-1;1);$% 4) $%-\frac{a}{2}\in (-\infty;-3);$% 5) $%-\frac{a}{2}\in (3;+\infty).$% В 1) и 2) вариантах наименьшее значение достигается в точке $%-\frac{a}{2}$%. В остальных случаях - на концах отрезков $%[-3;-1]$% и $%[1;3].$% отвечен 8 Мар '13 13:28 
Anatoliy Согласен. Думал об этом способе, но не пробовал. Спасибо.
(8 Мар '13 14:43)
XAegis
|
|
$% f(x) = 4x^2+4a*x+a^2-2a+2 $% $%df/dx= 8x+4a$% $%df/fx=0$%; $%8x+4a=0$%; $%2x+a=0$%; $%x=-a/2$% Парабола ветвями вверх, одна точка минимума. $$f(-a/2) = a^2-2a^2+a^2-2a+2 = -2a+2$$ Осталось найти a при которых больше 6 $%-2a+2>=6$%; $%-2a>=4$%; $%a<=-2$% На множестве x из $%(-3,-1)$% объединить с $%(1,3)$% на таком множестве, потому что функция принимает свой минимум в точке $%-a/2$% по оси абцисс Ox $%f(-a/2)=-2a+2$% то есть точка параболы $%(-a/2,-2a+2)$% - точка минимума то есть $%1<=-a/2<=3$%; $%-3<=-a/2<=-1$%; $%-6<=a<=-2$% и $%-3<=-a/2<=-1$% $%-6<=-a<=-2$%; $%2<=a<=6$% Ответ $%-6<=a<=-2$% Согласен там была ошибка в вычислениях, я картошку варил. Если так тогда нужно так решать, $$min[-2a+2,4+4a+a^2-2a+2,4 умножить 9+4a умножить 3+a^2-2a+2,4-4a+a^2-2a+2,4 умножить 9-4 умножить 3a+a^2-2a+2]>=6$$ $$min[-2a+2,a^2+2a+6,36+12a+a^2-2a+2=a^2+10a+38,a^2-6a+6,36-12a+a^2-2a+2=a^2-14a+38]>=6$$ $$min[-2a+2,a^2+2a+6,a^2+10a+38,a^2-6a+6,a^2-14a+38]>=6$$ $$min[-2a+2,f(a=1),f(a=3),f(a=-1),f(a=-3)]>=6$$ Можно рассмотреть, как функцию двух переменных $%f(x,y)=4x^2+4yx+y^2-2y+2 где 1<=|x|<=3$% y - произвольное в сечении плоскости $%y=a$% по y переменной эта функция линейна, по x парабола В принципе @Anatoly правильно ответил. $%-a/2<-3$% минимум в $%f(-3) =36-12a+a^2-2a+2=a^2-14a+38>=6 $% $%a^2-14a+32>=0$%; $%a=7+-sqrt(17)$%; $% a<=7-sqrt(17)$%; $%a>=7+sqrt(17)$% $%a>6$% Здесь ответ будет $%a>=7+sqrt(17)$% $%1<=|a/2|<=3$% здесь ответ будет $%-6<=a<=-2$% $%-a/2>3$% минимум в $%f(3)=36+12*a+a^2-2a+2=a^2+10a+38>=6$% корней нет, всюду положительна то есть $%a<-3/2$% и последнее $%-1<=-a/2<=1 $%; $% min[f(-1),f(1)]>=6$% $$4-4a+a^2-2a+2 = a^2-6a+6 $$ $$min[a^2-6a+6,4+4a+a^2-2a+2=6+2a+a^2]>=6$$ $$min[a^2-6a+6,a^2+2a+6]>=6$$ $%a<=-2$%; $%a=0$%; $%a>=6$%; и $%a>=-2$%; $%a<=2$% Ответ $%a=-2$% Подводим итог $%a=-2$%; $%-6<=a<=-2$%; $%a>=7+sqrt(17)$%; $%a<=-3/2$% то есть $%a<=-3/2$%; $%a>=7+sqrt(17)$% отвечен 10 Мар '13 2:52 
artem00 Это ошибочное решение. Дело в том, что абсцисса вершины параболы может не принадлежать объединению отрезков $%[-3,-1]\cup[1,3]$%, поэтому нельзя утверждать, что значение функции в этой точке должно быть больше либо равно $%6$%. Кроме того, здесь от неравенства $%-2a\ge4$% перешли к неравенству $%a\ge-2$%, а должно быть $%a\le-2$%.
(10 Мар '13 3:01)
falcao
Кстати не всегда если неравенство умножить на -1 то знак неравенства поменяется. например |x|>|sin(x)| при x>0 sin(x)<x при x<0 -sin(x)<-x Вот такой пример Если умножим -sin(x)<-x на -1 получим sin(x)>x что неверно
(10 Мар '13 3:36)
artem00
Если верно неравенство $%a > b$%, то верно неравенство $%-a < -b$%, и наоборот. Никаких исключений из этого правила нет. Вы рассматриваете неравенство $%-\sin x < -x$% при отрицательных значениях $%x$%. Оно для этих значений верно. Если его умножить на $%-1$% со сменой знака, то получится неравенство $%\sin x > x$%, что, вне всякого сомнения, верно при тех же ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ значениях $%x$%. Просто посмотрите на графике: что расположено выше на отрицательной полуоси -- график функции $%y=x$% или синусоида? Или возьмите точку $%x=-\pi$%. Ясно, что $%0 > -\pi$%.
(10 Мар '13 3:56)
falcao
Согласен, значит уже пора отдохнуть голове, я вечером просыпаюсь она у меня раскалывается от боли. Помогает только кофе.
(10 Мар '13 4:00)
artem00
Вы потом проверьте на свежую голову, и проанализируйте все ошибки. Это очень полезно -- уметь их у себя находить. Скажем, можно взять значения $%a=-10$% или $%a=12$% для примера, и убедиться, что они подходят. А у Вас они в ответ не вошли, потому что Вы рассмотрели только случай, когда абсцисса вершины параболы удовлетворяет условию $%1\le|x|\le3$%. Но она может и не удовлетворять!
(10 Мар '13 4:28)
falcao
a=-10 f(x) = 4x^2+4ax+a^2-2a+2 f(-10) = 4x^2-40x+100-20+2 4x^2-40x+82 f'=8x-40 f'=0 x=40/8 =20/4=10/2=5 f(5)=4 умножить 25-40 умножить 5+82=100-200+82=-100+82=-18<6 а не больше
(10 Мар '13 4:57)
artem00
Во-первых, там не $%-18$%, а $%22$% должно быть, так как $%a=-10$% подставляется в выражение $%-2a+2$%. Во-вторых, число $%5$% здесь вообще не принадлежит тому множеству, на котором рассматривается наименьшее значение. Судя по всему, Вы не так поняли условие задачи. Рассматривается функция $%f(x)$% не на всей числовой прямой, а только на множестве $%1\le|x|\le3$%. Именно на нём берётся наименьшее значение, и оно должно быть больше либо равно $%6$%. Такой пример: у функции $%y=x^2$% на всей прямой наименьшее значение равно нулю, но при ограничениях на $%x$% оно равно $%1$%.
(10 Мар '13 5:11)
falcao
a=12 -2*12+2=-24+2=-22<6
(10 Мар '13 5:29)
artem00
А если взять -10, то 5 не будет лежать в 1<=|x|<=3 то есть оно не подходит
(10 Мар '13 5:39)
artem00
показано 5 из 9
показать еще 4
|
