самообразование - С какой скоростью возрастает последовательность чисел Франеля?

То, что показатель роста равен $%2^3=8$%, следует из самых простых оценок. Сумма кубов положительных чисел не больше куба суммы; верхняя оценка $%8^n$%. С другой стороны, "средний" биномиальный коэффициент совсем грубо оцениваем снизу как $%\frac{2^n}n$%, и учитываем только его. Получается нижняя оценка $%\frac{8^n}{n^3}$%. Иными словами, $%\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{f_n}=8$%.

Интерес представляет как минимум точная асимптотическая оценка с точностью до подобия, то есть такие константы, для которых $%f_n\sim k\cdot\frac{8^n}{n^a}$%. В первую очередь, конечно, хотелось бы знать $%a$%. Скажем, для квадратов сочетаний $%a=1/2$%.

В принципе, это известно: здесь $%a=1$%, и справедлива такая асимптотическая формула: $%f_n\sim\frac{2\cdot8^n}{\sqrt3\,\pi n}$%. Отношение стремится к единице достаточно быстро. Для получения таких оценок нужны какие-то уже имеющиеся методы, но их лучше искать в специальных статьях. В принципе, здесь должно быть достаточно асимптотических оценок для самих биномиальных коэффициентов (типа теоремы Муавра - Лапласа), но я не знаю, какого порядка там требуется точность и прочее.