Как приблизительно оценить, с какой скоростью возрастает последовательность чисел Франеля?

задан 20 Ноя '17 18:45

2

Есть же рекуррентные соотношения. http://mathworld.wolfram.com/FranelNumber.html Вроде бы из них следует, что $%f_n\approx 7f_{n-1}+8f_{n-2}$%. А у этой последовательности рост экспоненциальный, и больший корень характеристического уравнения даст порядок роста.

(20 Ноя '17 18:54) knop
10|600 символов нужно символов осталось
3

То, что показатель роста равен $%2^3=8$%, следует из самых простых оценок. Сумма кубов положительных чисел не больше куба суммы; верхняя оценка $%8^n$%. С другой стороны, "средний" биномиальный коэффициент совсем грубо оцениваем снизу как $%\frac{2^n}n$%, и учитываем только его. Получается нижняя оценка $%\frac{8^n}{n^3}$%. Иными словами, $%\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{f_n}=8$%.

Интерес представляет как минимум точная асимптотическая оценка с точностью до подобия, то есть такие константы, для которых $%f_n\sim k\cdot\frac{8^n}{n^a}$%. В первую очередь, конечно, хотелось бы знать $%a$%. Скажем, для квадратов сочетаний $%a=1/2$%.

В принципе, это известно: здесь $%a=1$%, и справедлива такая асимптотическая формула: $%f_n\sim\frac{2\cdot8^n}{\sqrt3\,\pi n}$%. Отношение стремится к единице достаточно быстро. Для получения таких оценок нужны какие-то уже имеющиеся методы, но их лучше искать в специальных статьях. В принципе, здесь должно быть достаточно асимптотических оценок для самих биномиальных коэффициентов (типа теоремы Муавра - Лапласа), но я не знаю, какого порядка там требуется точность и прочее.

ссылка

отвечен 20 Ноя '17 22:06

@falcao, большое спасибо!

(21 Ноя '17 1:24) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×631
×322
×268
×78
×12

задан
20 Ноя '17 18:45

показан
169 раз

обновлен
21 Ноя '17 1:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru