Разделить многочлен $%(x-1)^{2017}$% с остатком на многочлен $% x^2-4 $%.


Многочлен $%(x-1)^{2017}$% на $%(x+2)$% я разделил с заменой $%(x-1)$% на $% a $%. Получилось выражение $%(x-1)^{2017} = a^{2017} = (a^{2016}-3a^{2015}+3^2a^{2014}-...-3^{2015}a+3^{2016})(a+3)-3^{2017} $% $%=((x-1)^{2016}-3(x-1)^{2015}+3^2(x-1)^{2014}-...-3^{2015}(x-1)+3^{2016})(x+2)-3^{2017}.$% А чтобы еще раз поделить его на $%(x-2)$% испытываю трудности. Разложение по биному и деление сразу на $%(x^2-4)$% получается как то не очень удобное.

задан 21 Ноя '17 5:30

изменен 21 Ноя '17 6:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Как известно остаток от деления многочлена $%p(x)$% на двучлен $%x-a$% равен $%p(a)$%.

В уме делим $%(x−1)^{2017}$% на $%x-2$% получаем 1.

В уме делим $%(x−1)^{2017}$% на $%x+2$% получаем $%-3^{2017}$%.

Запишем многочлен так $%p(x)=(x-2)(x+2)Q(x)+ax+b$%. Нам нужно узнать a и b, для этого применим метод подстановки конкретных значений. А именно подставив в эту запись $%x=\pm2$% получим:

$%p(2)=2a+b=1$% и $%p(-2)=-2a+b=-3^{2017}$%

Складывая уравнения находим $%b=\dfrac{1-3^{2017}}{2}$%. Вычитая уравнения находим $%a=\dfrac{1+3^{2017}}{4}$%

Ответ: $%\dfrac{1+3^{2017}}{4}x + \dfrac{1-3^{2017}}{2}$%

ссылка

отвечен 21 Ноя '17 8:02

изменен 21 Ноя '17 8:03

Спасибо. Только я застрял на поиске $% Q(x) $%, до остатка даже не дошёл, соответственно. Или в таких заданиях поиск $% Q(x) $% не требуется?

(21 Ноя '17 16:00) GVolskiy

@GVolskiy: задача нахождения остатка от деления на многочлен 2-й степени, который раскладывается на множители, достаточно распространена. Это упражнение на применении теоремы Безу, и его часто предлагают. Но я ни разу не видел, чтобы (неполное) частное тоже требовали находить. Это возможно в принципе сделать, но ответ получается громоздкий. Формально, требование разделить с остатком это предполагает, но более вероятен просчёт со стороны составителей. Тут лучше всего уточнить у них это обстоятельство.

(21 Ноя '17 17:27) falcao

@falcao а как тут лучше находить Q(x)? Делением в столбик или может двукратным применением схемы Горнера?

(21 Ноя '17 18:15) abc

@abc: оба способа применимы, но я бы сначала разложил по степеням x, а потом для x^n стал бы находить частные. Если показатель степени чётен, то x^{2k}=t^k=(t-4+4)^k раскладывается по степеням t-4 для t=x^2, а нечётные степени получаются домножением на x. Но смысла в проведении этих вычислений я не вижу.

(21 Ноя '17 18:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,705
×322
×34

задан
21 Ноя '17 5:30

показан
234 раза

обновлен
21 Ноя '17 18:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru