Объясните, пожалуйста, в чём разница между замкнутыми и ограниченными операторами. Теорема о замкнутом графике говорит, что для гильбертовых пространств если оператор замкнут, то он ограничен. Это выполняется только для операторов, определённых на всём пространстве, или же область определения не играет роли? Спасибо!

задан 2 Фев '12 19:28

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это выполняется только для операторов, определённых на всём пространстве, или же область определения должна быть полным линейным нормированным пространством.

ссылка

отвечен 4 Фев '12 23:27

Да, спасибо, похоже, так и есть. Просто довольно странно, в формулировке теоремы про область определения ничего не было сказано (учебник - Хатсон, Пим), вот я и задумался.

(5 Фев '12 1:16) Fedya
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для банаховых пространств ограниченность линйного оператора равносильна его непрерывности.для ненормируемых пространств (пространство пробных функций)ограниченность оператора теряет смысл, говорят только о непрерывности.Оператор дифференцирования замкнут , но не является непрерывным (что легко доказать из курса классического анализа)т.е. не является ограниченным.Про область определения надо говорить отдельно.

ссылка

отвечен 3 Фев '12 15:24

Спасибо, про то, что оператор на банаховом пространстве ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен, я в курсе. Вопрос как раз про замкнутые операторы. Действительно, оператор дифференцирования разрывен в каждой точке на С и на Lp, это показать можно, но в тоже время, он замкнут. Как тогда это соотносится с теоремой о замкнутом графике, которая говорит, что если оператор замкнут, то он непрерывен? Пусть для определённости пространство будет L2

(3 Фев '12 19:16) Fedya

Дело в том что оператор дифф задан на пространстве дифф функций а не на С. А там (дифф. ф.)нет полной нормы. Теорема о графике верна если как минимум исходное пространство - бочечное и уж тем более если полное нормированное.Для того чтобы лучше понять ситуацию - более простой пример. Воэьмем оператор вложения в замкнутом подпространстве банахова пространства, скажем H непрерывно дифф ф. в С.Но топологию возьмем не индуцированную ( она полна), а например слабую топологию: замкнутость оператора останется, а непрерывности нет.

(4 Фев '12 12:15) евг

Да, вроде разобрался, ещё раз спасибо. Со вложением пример понял, сегодня как раз была задача: доказать, что вложение непрерывно в индуцированной топологии. Если позволите, вопрос: что есть "слабая топология"? Насколько я понимаю, она грубее индуцированной?

(5 Фев '12 1:18) Fedya
10|600 символов нужно символов осталось
0

прочитайте Х.Шефера "Топологические линейные пространства". Вообще, слабая топология определяется набором абсолютно выпуклых окрестностей нуля, порождаемых любыми конечными наборами лебговых множеств непр.лин.функционалов. Она слабее исходной и совпадает ней только для конечносерных пространств. Простой критерий замкнутости оператора: пересечение замыканий в топологии обрза базисных окрестностей нуля исходной топологии должен быть нуль.

ссылка

отвечен 7 Фев '12 17:13

изменен 7 Фев '12 23:05

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×274

задан
2 Фев '12 19:28

показан
1634 раза

обновлен
7 Фев '12 23:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru