$%n!\ge n^{n/2}$% доказать неравенство $%n! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\ldots\cdot n$%.

задан 9 Мар '13 17:28

изменен 9 Мар '13 20:47

falcao's gravatar image


254k23650

10|600 символов нужно символов осталось
2

При возведении в квадрат получается равносильное неравенство $%n!^2\ge n^n$%, которое и будем доказывать (а в конце извлечём квадратные корни, получая то, что требовалось). Запишем для наглядности числа от $%1$% до $%n$% друг за другом (через пробел), а под ними запишем те же числа, но в обратном порядке, то есть от $%n$% до $%1$%. Ясно, что произведение всех выписанных чисел равняется $%n!\cdot n!$%, и достаточно установить, что оно не меньше $%n^n$%. Для этого достаточно убедиться, что произведение двух чисел, написанных друг под другом, не меньше $%n$%: поскольку таких столбцов из пар чисел у нас ровно $%n$%, из этого всё будет следовать.

Ясно, что сумма чисел, написанных друг под другом, всегда одна и та же, и она равна $%n+1$%. Поэтому, если мы какое-то из чисел в верхней строке обозначим через $%k$%, где $%k$% может принимать любое значение от $%1$% до $%n$%, то число в нижней строке, написанное под ним, равно $%n+1-k$%. И теперь достаточно убедиться в справедливости неравенства $%k(n+1-k)\ge n$%. Это неравенство можно переписать в виде $%n(k-1)\ge k(k-1)$%, и оно оказывается очевидным ввиду $%n\ge k$% и $%k-1\ge0$%.

ссылка

отвечен 9 Мар '13 17:51

Спасибо,что помогли, если нетрудно помогите разобраться с другим неравенством bc/a+ac/b+ab/c >=a+b+c доказать неравенство ( скорее всего через неравенство коши) буду благодарен

(9 Мар '13 21:26) ilia
1

Это неравенство верно, но для положительных чисел. Доказывается через неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: $%x+y\ge2\sqrt{xy}$%. Применяя его к $%x=bc/a$%, $%y=ac/b$%, получаем $%bc/a+ac/b\ge2c$%. Далее то же неравенство надо применить к двум другим парам слагаемых из левой части. Если потом всё сложить и сократить на $%2$%, то получится доказываемое утверждение.

(9 Мар '13 21:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,556

задан
9 Мар '13 17:28

показан
1889 раз

обновлен
9 Мар '13 21:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru