алгебра - Доказательства неравенства $%n!>=n^{n/2}$%

При возведении в квадрат получается равносильное неравенство $%n!^2\ge n^n$%, которое и будем доказывать (а в конце извлечём квадратные корни, получая то, что требовалось). Запишем для наглядности числа от $%1$% до $%n$% друг за другом (через пробел), а под ними запишем те же числа, но в обратном порядке, то есть от $%n$% до $%1$%. Ясно, что произведение всех выписанных чисел равняется $%n!\cdot n!$%, и достаточно установить, что оно не меньше $%n^n$%. Для этого достаточно убедиться, что произведение двух чисел, написанных друг под другом, не меньше $%n$%: поскольку таких столбцов из пар чисел у нас ровно $%n$%, из этого всё будет следовать.

Ясно, что сумма чисел, написанных друг под другом, всегда одна и та же, и она равна $%n+1$%. Поэтому, если мы какое-то из чисел в верхней строке обозначим через $%k$%, где $%k$% может принимать любое значение от $%1$% до $%n$%, то число в нижней строке, написанное под ним, равно $%n+1-k$%. И теперь достаточно убедиться в справедливости неравенства $%k(n+1-k)\ge n$%. Это неравенство можно переписать в виде $%n(k-1)\ge k(k-1)$%, и оно оказывается очевидным ввиду $%n\ge k$% и $%k-1\ge0$%.