Найдите все $%\lambda$%, при которых уравнение в $%L_2[0,1]$% разрешимо для всех у: $$x(t)-\lambda \int^1_0 min(t,s)x(s)ds=y(t)$$

задан 22 Ноя '17 19:28

изменен 22 Ноя '17 22:01

10|600 символов нужно символов осталось
2

Под знаком интеграла стоит, фактически, функция Грина. Если положить $$∫_0^1 \min⁡(t,s) \, x(s)ds=∫_0^tx(s)sds+t∫_t^1 x(s)ds≡z(t),$$ то уравнение сведётся к задаче $$z''(t)+\lambda z(t) = -g(t), \; z(0) = z'(1)=0.$$ Она разрешима при любом $%y$% тогда и только тогда, когда $%\lambda$% не совпадает ни с одним из собственных значений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля (функция Грина которой стоит под знаком интеграла), т.е. $$\lambda \ne \frac{(2n+1)^2 \pi ^2}{4}, \; n=0,1,2,...$$

ссылка

отвечен 23 Ноя '17 0:42

@splen: не могли бы Вы пояснить, откуда взялись указанные значения лямбда?

(23 Ноя '17 1:48) stander

Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля - решения уравнения $$z''+\lambda z=0,$$ удовлетворяющие граничным условиям $$z(0)=z'(1)=0.$$ Это - функции $$z_n(t) = \sin \frac{(2n+1) \pi t}{2} = \sin (\sqrt{\lambda_n} t).$$ Значит, $$\sqrt{\lambda_n} = \frac{(2n+1) \pi}{2}.$$

(23 Ноя '17 1:54) splen

@splen: Спасибо. И последний вопрос: откуда взялось граничное условие на производную z?

(23 Ноя '17 2:08) stander

Производная выражается интегралом в пределах от $%t$% до 1.

(23 Ноя '17 2:11) splen

@splen: но у нас же первое слагаемое имеет пределы интегрирования 0 и t. Я не до конца понимаю, как Вы продифференцировали по параметру интегрирования. Извините, что туплю.

(23 Ноя '17 2:19) stander

@stander, нет, не по параметру интегрирования. $$\left( \int_0^t x(s)sds \right)' = t x(t),$$ $$\left( t\int_t^1 x(s)ds \right)' = \int_t^1 x(s)ds - t x(t).$$

(23 Ноя '17 2:26) splen
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×375

задан
22 Ноя '17 19:28

показан
114 раз

обновлен
23 Ноя '17 2:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru