$$\sum_{n\geq1}\frac{cosnx}{n(n+1)}$$

Вопрос обсуждался уже тут: math.hashcode.ru/questions/141884/ , но самый последний шаг опустили.

Верны ли следующие рассуждения: $$\sum_{n\geq0}z^{n-1} = \frac{1}{z}+\sum_{n\geq1}z^{n-1} = \frac{1}{z(1-z)}$$ $$\sum_{n\geq1}\frac{z^{n}}{n} = ln\big(\frac{1}{1-z}\big)$$ $$\sum_{n\geq1}\frac{z^{n+1}}{n(n+1)} = z+(z-1)ln\big(\frac{1}{1-z}\big)$$ $$\sum_{n\geq1}\frac{z^{n}}{n(n+1)} = \frac{z+(z-1)ln\big(\frac{1}{1-z}\big)}{z}$$

Насколько я понимаю, теперь в полученную функцию надо подставить $$-e^{ix}$$ и найти $$-ReF(-e^{ix})$$. Собственно, вопрос, как это делать.

задан 23 Ноя '17 23:30

изменен 23 Ноя '17 23:31

@MaxxWell: вычисления я не смотрел, но выделение действительной части производится так. Надо 1-z записать как 1-cos(x)+i sin x. Далее выделяется множитель 2sin(x/2). Потом это дело логарифмируется. Далее домножаем на z^{-1}=cos x+i sin x, перемножаем комплексные числа, и смотрим на действительную часть. Вычисления там не особо сложные, хотя всё это надо делать внимательно.

(24 Ноя '17 0:26) falcao

А как получить из $%\sum_{n=0}^∞z^n = \frac{1}{1-z}, \; |z|<1,$% вот такое: $%\sum_{n\geq1}\frac{z^{n}}{n} = \ln\big(\frac{1}{1-z}\big)$%

Как-то непривычно считать сумму неопределенным интегралом, без пределов интегрирования. Я знаю что суммы представляются через определенные интегралы, а через неопределенные вижу впервые, как это обосновать?

Кроме того интегрирование происходит с точностью до константы. Как её найти? И надо ли искать, может она всегда равна нулю или бывают контрпримеры?

(24 Ноя '17 3:23) abc

@abc: разложение логарифма в ряд Тейлора представляет собой известную формулу. Конечно, одно из другого можно получить интегрированием, а сравнение в точке z=0 говорит о том, что константа равна нулю. Но зачем это нужно? Мы берём готовую формулу, и ничего интегрировать вообще не надо.

(24 Ноя '17 3:27) falcao

@falcao Понятно, но хотелось бы обосновать саму методику взятия неопределенного интеграла от суммы, для других задач, когда нет уже готовых разложений. Я так понял функция и её ряд должны быть аналитическими на интервале |z|<1. Тогда можно проинтегрировать. Получающееся равенство будет верно опять же для |z|<1. Останется еще найти константу, и здесь интересно действительно ли надо её искать или она всегда равна нулю?

(24 Ноя '17 3:41) abc
1

@abc: мне непонятна та задача, которую Вы мысленно рассматриваете. Ясно, что в общем виде могут получиться функции "левые", о которых мы мало что знаем. Поэтому постулировать то, что функции "хорошие", можно вполне. Константа может быть равна чему угодно -- ведь её всегда можно прибавить к тому, что имеется в наличии.

(24 Ноя '17 3:58) falcao

@falcao Честно сказать, никакой задачи я особо и не рассматривал :) Просто спрашивал обо всем подряд в расчете, что кто-нибудь придаст разумный смысл моим словам и напишет что-нибудь интересное. Но давайте поставлю вопрос поконкретнее:

Пусть $%g(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} {a_i \cdot x^i}$% для |x|<1 Верно ли что(для любых g(x)):

$%\int g(x)=С+\sum\limits_{i=0}^{\infty} {\frac{a_i}{i+1} \cdot x^{i+1}}$% для |x|<1

Насчет константы понял, что может быть любой.

(24 Ноя '17 4:17) abc

@abc: да, верно. Есть же теорема о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов (на области сходимости).

(24 Ноя '17 4:35) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,819
×629

задан
23 Ноя '17 23:30

показан
204 раза

обновлен
24 Ноя '17 4:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru