Пусть в R^n есть обычное скалярное произведение, т.е ((a_i),(b_i))=sum(a_i*b_i).1) Доказать что критические точки функции (Ax,x) (A-симметрический оператор) на на сфере радиуса 1 это собственные векторы оператора A. 2) При каких условиях критические точки невырожденны?

задан 25 Ноя '17 21:47

Первое получается, если рассмотреть функцию Лагранжа в координатах, и приравнять все частные производные нулю. Получатся в точности уравнения, описывающие собственные векторы.

А что понимается под вырожденностью критических точек?

(25 Ноя '17 23:24) falcao

@falcao Критическая точка называется невырожденной, если матрица Гессе невырожденная(т.е матрица вторых частных производных). Можете описать поподробнее для первого?

(26 Ноя '17 0:09) Wannaknoweve...
10|600 символов нужно символов осталось
0

Функция Лагранжа здесь имеет вид $%(Ax,x)-\lambda(x,x)=\sum\limits_ia_{ii}x_i^2+2\sum\limits_{i < j}a_{ij}x_ix_j-\lambda\sum\limits_ix_i^2$%. Дифференцирование по переменной $%x_i$% даёт $%\frac{\partial F}{\partial x_i}=2(\sum\limits_ja_{ij}x_j-\lambda x_i)=0$% при $%1\le i\le n$%. Это значит, что $%Ax=\lambda x$%. Поскольку $%x$% ненулевой, это будет собственный вектор.

ссылка

отвечен 26 Ноя '17 1:56

@falcao Почему именно такой вид имеет функция Лагранжа?

(26 Ноя '17 2:13) Wannaknoweve...

@Wannaknoweve...: посмотрите общее описание метода множителей Лагранжа. Если есть какая-то функция f(x), у которой надо найти условный экстремум при g(x)=0, то рассматривается f-lambda g (здесь x -- это вектор).

(26 Ноя '17 2:19) falcao

@falcao Это понятно, откуда взялась двойка у второго слагаемого? $$(Ax,x)-\lambda(x,x)=\sum\limits_ia_{ii}x_i^2+2\sum\limits_{i < j}a_{ij}x_ix_j-\lambda\sum\limits_ix_i^2$$

(26 Ноя '17 2:23) Wannaknoweve...

@Wannaknoweve...: так матрица ведь симметричная, и один раз идёт коэффициент aij при xixj, а другой раз aji при xjxi. Эти коэффициенты равны, и приведение подобных даёт удвоение при суммировании по i < j.

(26 Ноя '17 2:34) falcao

@falcao Забыл про симметричность. А что по поводу невырожденных точек?

(26 Ноя '17 2:39) Wannaknoweve...

@Wannaknoweve...: там надо второй раз продифференцировать эти же выражения по x_j. Без учёта множителя 2, получится матрица A-lambda E. В данном случае она всегда вырождена, но я не знаю, надо ли учитывать "лямбда-член" при нахождении условного экстремума. Когда ищется экстремум абсолютный, тогда понятно, что надо делать. А здесь надо смотреть, что говорит теория. Это же понятие классификационное, то есть оно, наверное, для решения каких-то задач предназначено.

(26 Ноя '17 2:47) falcao

@falcao Понятие из Теории Морса. Ну и как раз таки функцией Морса и называется функция, у которой все критические точки невырождены.

(26 Ноя '17 2:51) Wannaknoweve...
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×375
×164

задан
25 Ноя '17 21:47

показан
170 раз

обновлен
26 Ноя '17 2:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru