Центры тяжестей тетраэдра и его всех ребер совпадают. Можно ли утверждать, что этот тетраэдр - правильный?

задан 10 Мар '13 13:19

Хочу уточнить условие. Правильно ли я понимаю, что в одном случае рассматривается "массивный" тетраэдр, а в другом -- его "каркас", состоящий только из рёбер?

(10 Мар '13 13:52) falcao

Совершенно верно!

(10 Мар '13 13:54) Anatoliy

Интересна также задача о нахождении центра масс "каркаса" треугольника. Скорее всего, она где-то уже рассматривалась. У меня вроде бы получилось (хотя полезно перепроверить на всякий случай), что соответствующая точка $%P$% лежит на прямой $%GI$%, соединяющей точку пересечения медиан и биссектрис, причём точка $%G$% (центр тяжести "сплошного" треугольника) делит отрезок $%PI$% в отношении $%1:2$%. Здесь уже, конечно, совпадение точек $%P$% и $%G$% означает правильность треугольника.

(10 Мар '13 23:44) falcao

Если массу каждой стороны треугольника сосредоточить в её середине и рассмотреть серединный треуольник, то окажется, что в его вершинах сосредоточены массы, пропорциональные противолежащим сторонам. Следовательно, центр масс однородного треугольного каркаса находится в точке пересечения биссектрис соответствующего серединного треугольника.

(11 Мар '13 2:52) splen

@splen: да, это эквивалентно тому, что у меня получилось. Правда, я все массы сосредоточил в вершинах, а потом уже преобразовал радиус-вектор. Ваш приём несколько проще выглядит.

(11 Мар '13 2:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я сейчас посчитал, и получилось, что центр масс тетраэдра совпадает с центром масс рёберного тетраэдра тогда и только тогда, когда длины противоположных рёбер тетраэдра совпадают. Вычисление там весьма простое. С каждым ребром можно связать точечную массу, пропорциональную его длине, и далее сосредоточить её в вершинах ребра. Тогда в каждой вершине сосредоточится масса, пропорциональная сумме длин исходящих из неё рёбер. Для того, чтобы центр масс этой конфигурации совпал с центром масс "сплошного" тетраэдра, необходимо и достаточно равенства масс в вершинах. А это эквивалентно равенству длин противоположных рёбер, что легко усматривается чисто арифметически.

Для любого остроугольного треугольника с длинами сторон $%a$%, $%b$%, $%c$% можно единственным образом построить тетраэдр с требуемым свойством. То есть в общем случае нельзя утверждать, что тетраэдр будет правильным.

P.S. Добавлю к сказанному выше несколько слов. Обозначим пирамиду через $%SABC$% и положим $%AB=c, BC=a, CA=b$%, $%SA=a'$%, $%SB=b'$%, $%SC=c'$%. Выше задача была сформулирована в таких терминах, когда в каждой вершине имеется масса, равная сумме масс исходящих из неё рёбер. Я исходил далее из известного факта, что радиус-вектор центра масс системы точек есть линейная комбинация радиус-векторов вершин с коэффициентами, равными массам точек, поделённая на сумму масс. При этом радиус-вектор центра единичных масс, сосредоточенных в вершинах, находится по известной формуле $$\vec{G}=\frac14(\vec{S}+\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}),$$ где началом радиус-векторов является произвольная точка $%O$%, от выбора которой ничего не зависит. Точка $%G$% совпадает и с центром масс "сплошного" тетраэдра (стандартный факт). Теперь, если с вершинами связать какие-то массы $%m_1,m_2,m_3,m_4$%, то радиус-вектор центра масс этой системы будет иметь вид $$\vec{G^o}=\frac1{m}(m_1\vec{S}+m_2\vec{A}+m_3\vec{B}+m_4\vec{C}),$$ где $%m=m_1+m_2+m_3+m_4$%. Если центры совпали, то есть $%G=G^o$%, то совпали и барицентрические координаты этих точек (ещё один стандартный факт), откуда $%m_1=m_2=m_3=m_4$%.

Осталось применить эти соображения к нашему случаю, когда с каждой вершиной связанна масса всех исходящих из неё рёбер. Это приводит к равенствам $$a'+b'+c'=a'+b+c=a+b'+c=a+b+c'.$$ Без труда проверяется, что данная система равносильна одновременному выполнению условий $%a=a'$%, $%b=b'$%, $%c=c'$%. В одну сторону это очевидно; в другую -- имеем равенства $%b'+c'=b+c$% и все ему симметричные. Складывая их и деля пополам, имеем $%a'+b'+c'=a+b+c$%, откуда $%a'=a$% вместе с двумя симметричными равенствами.

ссылка

отвечен 10 Мар '13 14:57

изменен 10 Мар '13 19:48

Что значит "длины противоположных рёбер тетраэдра совпадают"? Далее, центр массы однородного отрезка - середина этого отрезка.

(10 Мар '13 15:18) Anatoliy

Понятие противоположных рёбер тетраэдра вроде бы стандартно. Если $%SABC$% -- тетраэдр, то ребро $%SA$% противоположно $%BC$% и т.п. Центр масс рёберного тетраэдра совпадает с центром масс тетраэдра как трёхмерного тела тогда и только тогда, когда $%SA=BC, SB=CA, SC=AB$%. В своём решении я массу $%m$%, сосредоточенную в середине отрезка, распределяю поровну на его концах. После этого в каждой вершине концентрируется полусумма масс рёбер, исходящих из данной вершины. Умножив всё на $%2$%, можно считать, что мы имеем дело с суммой таких масс.

(10 Мар '13 15:48) falcao

Вы, наверное, имели ввиду, что длины противоположных ребер равны. Ну, если так, то где при этом находится центр масс ребер, тетраэдра? Желательно, чтобы было достаточное обоснование, приведенных Вами фактов.

(10 Мар '13 17:52) Anatoliy

Конечно, я это и имел в виду: мы говорим о длинах, то есть о числах. Сказать, про две величины, что они равны -- это то же самое, что сказать про них "совпадают". Центр масс рёбер тетраэдра в рассматриваемом случае совпадает с центром масс "сплошного" тетраэдра, а последний лежит на пересечении линий, соединяющих вершины с центрами масс оснований, то есть их точками пересечения медиан. Это я полагал общеизвестным фактом. Сейчас напишу ещё к своему ответу небольшой постскриптум.

(10 Мар '13 18:59) falcao

Ну, вот теперь достаточное обоснование.

(10 Мар '13 20:20) Anatoliy

Вы могли заметить, что я иногда пишу очень подробно. Может быть, даже излишне подробно. Но это относится к ситуациям, когда вопросы задают "начинающие". Но если вопрос задан Вами, то я на Ваш уровень и ориентируюсь, поэтому степень подробности объяснения выбирается другая. Я ничего нового к тому, что имел в виду изначально, здесь не добавил. Всё, что касается барицентрических координат и извлекаемых из этого соображений, полагалось совершенно стандартным, коль скоро речь шла о центрах масс.

(10 Мар '13 22:08) falcao

Я имел ввиду, что это будет интересно и "начинающим". Спасибо.

(11 Мар '13 12:51) Anatoliy

Действительно, задача интересная. Геометрия тетраэдра известна "в массах" гораздо менее, чем геометрия треугольника.

(11 Мар '13 14:00) DocentI
1

Доказательство можно немного упростить. Если массу каждого ребра тетраэдра сосредоточить в его середине, то система рёбер заменится системой из шести точечных масс, величины которых пропорциональным длинам рёбер. Как известно, три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер, пересекаются в одной точке, являющейся центром масс тетраэдра, и каждый из них делится этой точкой пополам. Следовательно, равенство длин противоположных сторон тетраэдра является необходимым и достаточным условием того, что центры масс тетраэдра и его рёбер совпадают (и вычисления можно не проводить).

(11 Мар '13 15:02) splen

Хорошее соображение! Я не догадался использовать это свойство. Когда удаётся обойтись без вычислений -- это всегда приятно. Тут только надо отметить, что эти три отрезка не лежат в одной плоскости.

(11 Мар '13 16:11) falcao

Но любые два из них - лежат, и этого достаточно.

(11 Мар '13 16:16) splen
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×25

задан
10 Мар '13 13:19

показан
4082 раза

обновлен
11 Мар '13 16:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru