геометрия-тетраэдра - Центр тяжести

Я сейчас посчитал, и получилось, что центр масс тетраэдра совпадает с центром масс рёберного тетраэдра тогда и только тогда, когда длины противоположных рёбер тетраэдра совпадают. Вычисление там весьма простое. С каждым ребром можно связать точечную массу, пропорциональную его длине, и далее сосредоточить её в вершинах ребра. Тогда в каждой вершине сосредоточится масса, пропорциональная сумме длин исходящих из неё рёбер. Для того, чтобы центр масс этой конфигурации совпал с центром масс "сплошного" тетраэдра, необходимо и достаточно равенства масс в вершинах. А это эквивалентно равенству длин противоположных рёбер, что легко усматривается чисто арифметически.

Для любого остроугольного треугольника с длинами сторон $%a$%, $%b$%, $%c$% можно единственным образом построить тетраэдр с требуемым свойством. То есть в общем случае нельзя утверждать, что тетраэдр будет правильным.

P.S. Добавлю к сказанному выше несколько слов. Обозначим пирамиду через $%SABC$% и положим $%AB=c, BC=a, CA=b$%, $%SA=a'$%, $%SB=b'$%, $%SC=c'$%. Выше задача была сформулирована в таких терминах, когда в каждой вершине имеется масса, равная сумме масс исходящих из неё рёбер. Я исходил далее из известного факта, что радиус-вектор центра масс системы точек есть линейная комбинация радиус-векторов вершин с коэффициентами, равными массам точек, поделённая на сумму масс. При этом радиус-вектор центра единичных масс, сосредоточенных в вершинах, находится по известной формуле $$\vec{G}=\frac14(\vec{S}+\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}),$$ где началом радиус-векторов является произвольная точка $%O$%, от выбора которой ничего не зависит. Точка $%G$% совпадает и с центром масс "сплошного" тетраэдра (стандартный факт). Теперь, если с вершинами связать какие-то массы $%m_1,m_2,m_3,m_4$%, то радиус-вектор центра масс этой системы будет иметь вид $$\vec{G^o}=\frac1{m}(m_1\vec{S}+m_2\vec{A}+m_3\vec{B}+m_4\vec{C}),$$ где $%m=m_1+m_2+m_3+m_4$%. Если центры совпали, то есть $%G=G^o$%, то совпали и барицентрические координаты этих точек (ещё один стандартный факт), откуда $%m_1=m_2=m_3=m_4$%.

Осталось применить эти соображения к нашему случаю, когда с каждой вершиной связанна масса всех исходящих из неё рёбер. Это приводит к равенствам $$a'+b'+c'=a'+b+c=a+b'+c=a+b+c'.$$ Без труда проверяется, что данная система равносильна одновременному выполнению условий $%a=a'$%, $%b=b'$%, $%c=c'$%. В одну сторону это очевидно; в другую -- имеем равенства $%b'+c'=b+c$% и все ему симметричные. Складывая их и деля пополам, имеем $%a'+b'+c'=a+b+c$%, откуда $%a'=a$% вместе с двумя симметричными равенствами.