теория-вероятностей - Вывод распределения Пуассона из Биномиального распределения.

Биномиальное распределение имеет вид:

$${ P }_{ n }(m)=\frac { n! }{ m!(n-m)! } p^{ m }{ (1-p) }^{ n-m }$$ ,где m - число благоприятных исходов, n - число испытаний, p - вероятность благоприятного исхода.

Введем обозначение $%{p}{n}={\lambda}$% (мат ожидание обоих распределений).

Если $%p\longrightarrow0$%, $%q\longrightarrow1$% и $%n\longrightarrow\infty$% получаем распределение Пуассона:

$$\underset { n\longrightarrow \infty }{ lim } { P }_{ n }(m)=\underset { n\longrightarrow \infty }{ lim } \quad \left[ \frac { n! }{ m!(n-m)! } { \left( \frac { \lambda }{ n } \right) }^{ m }{ \left( 1-\frac { \lambda }{ n } \right) }^{ n-m } \right] $$

После пары преобразований получаю: $${ { P }_{ { n } } }(m)=\frac { { \lambda }^{ m } }{ m! } { e }^{ -\lambda }\underset { n\longrightarrow \infty }{ lim } { \left[ \frac { n! }{ (n-m)! } \frac { 1 }{ { n }^{ m } } { \left( 1-\frac { \lambda }{ n } \right) }^{ -m } \right] }$$

Нужно решить предел и по идее получить единицу, но с пределами у меня плоховато. Объясните пожалуйста, как его решить?

Разобрался в этом сам.

В последнем выражении разбираемся с факториалами, оно принимает вид: $%{ { P }_{ { n } } }(m)=\frac { { \lambda }^{ m } }{ m! } { e }^{ -\lambda }\underset { n\longrightarrow \infty }{ lim } { \left[ \frac { n(n-1)\dots (n-m+1) }{ { n }^{ m } } { \left( 1-\frac { \lambda }{ n } \right) }^{ -m } \right] = }\frac { { \lambda }^{ m } }{ m! } { e }^{ -\lambda }$%

Из него видно, что дробь образовавшаяся на месте факториалов в пределе дает единицу, то же касается сомножителя в степени $%-m$%.