Здравствуйте, можете подсказать как найти норму линейного функционала f, заданного как f(x)=int from 0 to Pi(x(t)cos(2t)dt в пространстве С[0,1],которое является пространство непрерывных функций?

задан 27 Ноя '17 13:05

10|600 символов нужно символов осталось
2

Видимо, нормой в $%C[0,1]$% считается обычная норма равномерной сходимости. Тогда, если $%\|x\|=1$%, то есть $%|x(t)|\le1$% для всех $%t\in[0,\pi]$%, для интеграла имеет место очевидная оценка $%|f(x)|\le\int\limits_0^{\pi}|\cos2t|\,dt=2$%. Отсюда следует, что $%\|f\|\le2$%.

Для доказательства того, что имеет место равенство, рассматриваем сначала разрывную функцию $%x(t)$%, равную $%1$% в точках, где $%\cos2t > 0$%, и равную $%-1$% там, где $%\cos2t < 0$%. Под интегралом возникает та же функция (модуль косинуса), и значение равно $%2$%.

Если ограничиться только непрерывными функциями, то для каждого достаточно большого $%n$% зададим функцию $%x_n(t)$%, полагая $%x_n(t)=1$% при $%t\in[0,\frac{\pi}4-\frac1n]\cup[\frac{3\pi}4+\frac1n,\pi]$% и $%x_n(t)=-1$% при $%t\in[\frac{\pi}4+\frac1n,\frac{3\pi}4-\frac1n]$%. На каждом из двух не охваченных предыдущими случаями отрезков, то есть при $%t\in J_1=[\frac{\pi}4-\frac1n,\frac{\pi}4+\frac1n]$% и при $%t\in J_2=[\frac{3\pi}4-\frac1n,\frac{3\pi}4+\frac1n]$%, функцию полагаем линейной с заданными значениями на концах, чтобы график итоговой функции оказался ломаной, то есть $%x_n(t)$% была непрерывной.

Заметим, что $%x_n(t)=x(t)$% всюду кроме объединения $%J_1\cup J_2$%. На этих промежутках (как и на всём отрезке $%[0,1]$%) имеют место неравенства $%|x_n(t)|\le1$% и $%|x(t)|\le1$%, откуда $%|x_n(t)-x(t)|\le2$%.

Теперь вычисляем значение функционала на элементах $%x_n(t)$%. Оно равно $%\int_0^{\pi}x_n(t)\cos2t\,dt=\int_0^{\pi}x(t)\cos2t\,dt-\int_0^{\pi}(x(t)-x_n(t))\cos2t\,dt$%. (Это тождество типа "прибавили и вычли".)

Первое слагаемое, как мы знаем, равно $%2$%. Достаточно показать, что для любого $%\varepsilon > 0$% второе слагаемое (которое мы вычитаем) по модулю меньше $%\varepsilon$% при достаточно больших $%n$%. Тогда оно при этих $%n$% будет меньше $%\varepsilon$%, и значения функционала на элементах $%x_n(t)$% будут больше $%2-\varepsilon$%, поэтому точная верхняя грань будет равна $%2$%. Отметим, что нормы всех функций $%x_n$% единичны.

Итак, $%|\int_0^{\pi}(x(t)-x_n(t))\cos2t\,dt|\le\int_0^{\pi}|x(t)-x_n(t)|\cdot|\cos2t|\,dt\le\int_0^{\pi}|x(t)-x_n(t)|\,dt=$%

$%=\int_{J_1}|x(t)-x_n(t)|\,dt+\int_{J_2}|x(t)-x_n(t)|\,dt\le2\int_{J_1}dt+2\int_{J_2}dt=\frac8{n} < \varepsilon$% при $%n > 8/\varepsilon$%.

ссылка

отвечен 27 Ноя '17 21:08

изменен 1 Дек '17 1:09

Скажите, пожалуйста, как мы можем рассматривать для доказательства того,что норма действительно может равняться 2, при это беря функцию x(t), которая разрывная, ведь у нас пространство С[0,pi], а это пространство непрерывных на [0,Pi] функций???

(30 Ноя '17 12:10) Anton1988

@Anton1988: это стандартный приём. Мы значения 2 на непрерывных функциях никогда не достигнем, но для любого eps > 0 можем достигнуть значения, большего 2-eps, поэтому sup будет равен двум. Переход от разрывной функции к непрерывным достигается за счёт рассмотрения графиков, где значения -1 и 1 соединены отрезками. Это происходит на малых промежутках, поэтому интеграл при этом также меняется мало, и от 2 отличается на eps.

(30 Ноя '17 13:10) falcao

Я не особо понимаю, как мы можем для любого eps > 0 можем достигнуть значения, большего 2-eps? Можете,пожалуйста этот момент пояснить математически?

(30 Ноя '17 13:34) Anton1988

@Anton1988: это сделать можно, но приём стандартный, поэтому хотелось бы описать его кратко. Для разрывной функции f(x) у нас есть два участка, где она равна 1, и один участок для значения -1. Точки разрыва п/4 и 3п/4. Вводим функцию f_n(x), которая равна f(x) всюду кроме (1/n)-окрестностей точек п/4 и 3п/4. В пределах этих окрестностей функция линейна, что её однозначно определяет. Далее берём разность интегралов от f(x)cos2t и f_n(x)cos2t и проверяем, что она меньше C/n, где C=const.

(30 Ноя '17 14:41) falcao

Я все равно не особо понимаю, о каких окрестностях идет речь? У нас пространство непрерывных функций, а в итоге у нас получается, что и x(t) и f(x) разрывны?

(30 Ноя '17 16:26) Anton1988

@Anton1988: у меня же сказано, что речь об (1/n)-окрестностях точек t=п/4 и t=3п/4. Это значит, что берутся отрезки [п/4-1/n,п/4+1/n] и [3п/4-1/n,3п/4+1/n]. Они маленькие. Вне этих отрезков берём значения 1 при t<=п/4-1/n, далее -1 при п/4+1/n<=t<=3п/4-1/n, и потом снова 1 при 3п/4+1/n<=t. На двух маленьких отрезках полагаем функцию линейной, чтобы получилась непрерывная функция. (Нарисуйте на картинке.) Её обозначаем x_n(t), и с ней далее работаем. Она почти везде совпадает с разрывной (вспомогательной), и поэтому значение функционала на x_n будет мало отличаться от 2.

(30 Ноя '17 16:54) falcao

@Anton1988: из объяснения, данного в решении, вроде бы однозначно следует, какой будет ответ. Если само рассуждение понятно, уточняющего вопроса на этот счёт не должно быть. Если что-то непонятно по рассуждению -- давайте это обсудим.

Я уже говорил и вчера, и много раз до этого: саму процедуру "ответоуточнительства" я считаю бесполезной. Это нужно лишь тем, кто хочет не разобраться, а вписать ответ в какую-то проверочную машину.

(30 Ноя '17 17:38) falcao

@Anton1988: сравнивать нужно с разрывной функцией x(t), которая равна 1 на интервалах (0,п/4) и (3п/4), и равна -1 на (п/4,3п/4). Для такой функции интеграл равен 2, а для непрерывной надо доказать, что он отличается от 2 менее чем на eps (про то, что ровно 2 не получить, уже говорилось). Тогда можно рассмотреть разность x(t)-x_n(t) и проверить, что интеграл от неё "мал". Разность всюду равна нулю кроме двух маленьких отрезков длиной 2/n каждый. На этих отрезках разность ограничена (константой 2, например). Тогда интеграл от разности не больше 8/n, что меньше eps при достаточно больших n.

(30 Ноя '17 18:43) falcao

@Anton1988: там интеграл от модуля надо брать. Суть в том, что если функции близки друг к другу, то значения функционала от них тоже близки. Для этого достаточно рассмотреть разность значений функционала и оценить по модулю сверху. Неужели на уровне общего замысла это действительно непонятно, и нужно всё "расписать" в академической манере?

(1 Дек '17 0:21) falcao

Да,непонятно, необходимо расписать. Уже берем разности значений функционала, а не функций x(t) и x_n(t)??

(1 Дек '17 0:35) Anton1988

Почему, если второе слагаемое (которое мы вычитаем) по модулю меньше ε при достаточно больших n, то тогда оно без модуля при этих n будет меньше ε? И почему тогда значение функционала больше 2-еps???

(1 Дек '17 12:04) Anton1988

@Anton1988: всякое число не превосходит своего модуля, что следует из школьного определения. Вообще, |a| < eps равносильно -eps < a < eps.

Второе следует из простейших свойств неравенств: если из числа 2 вычли что-то, меньшее eps, то разность больше 2-eps.

(1 Дек '17 12:15) falcao

И что в итоге этих рассуждений следует? Как в итоге получается, что функционал достигает значения 2?

(1 Дек '17 12:20) Anton1988

@Anton1988: я уже много раз здесь говорил, что функционал НЕ ДОСТИГАЕТ здесь значения 2. Но он достигает значений, сколь угодно близких к 2, что здесь и доказано (значения могут быть больше 2-eps, где eps > 0 сколь угодно мало). Это значит, что супремум модуля значений функционала на множестве функций с условием ||x||=1 равен 2. А это и есть норма функционала в соответствии с определением.

(1 Дек '17 14:15) falcao
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×373
×23

задан
27 Ноя '17 13:05

показан
178 раз

обновлен
1 Дек '17 14:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru