Найти сумму функционального ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n}{n^2-1}\cos nx$$

задан 27 Ноя '17 13:52

10|600 символов нужно символов осталось
0

Аналогичные примеры уже рассматривались здесь и здесь. См. также здесь пример, похожий на Ваш, где допущена та же опечатка: суммировать надо по $%n\ge2$%, чтобы не происходило деления на ноль.

В некоторых случаях удаётся подобрать ряд Фурье с заданными коэффициентами -- когда итоговая функция имеет простой вид. Здесь это не так, поэтому будем использовать комплексные числа. Для начала, чтобы вычисления были проще, разложим дробь в сумму простейших: $%\frac{n}{n^2-1}=\frac12(\frac1{n-1}+\frac1{n+1})$%. Ряд представляется в виде (полу)суммы двух рядов. Вводим комплексную переменную $%z=e^{ix}$% и замечаем, что $%\cos nx$% равно действительной части $%z^n$%. Поэтому далее заменяем косинусы на степени, находим суммы рядов, а затем выделяем действительную часть того, что получилось.

Ряды получаются следующие: $%\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{z^n}{n-1}$% и $%\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{z^n}{n+1}$%. Нас интересует их полусумма. Оба ряда легко суммируются на основании известной формулы разложения логарифма в ряд Тейлора в окрестности нуля: $%\ln(1+z)=z-\frac12z^2+\frac13z^3-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}nz^n+\cdots$%. Получается, что сумма первого ряда равна $%z\ln(1+z)$%, а сумма второго равна $%\frac{\ln(1+z)-z+z^2/2}z=\frac{\ln(1+z)}z-1+\frac12z$% (вычли два первых члена, и разделили на $%z$%).

Полусумма рядов равна $%\ln(1+z)\cdot\frac{z+z^{-1}}2-\frac12+\frac14z$%. Осталось выделить действительную часть. Заметим, что $%1+z=1+e^{ix}=1+\cos x+i\sin x=2\cos\frac{x}2(\cos\frac{x}2+i\sin\frac{x}2)=2\cos\frac{x}2\,e^{ix/2}$%, откуда $%\ln(1+z)=\ln(2\cos\frac{x}2)+i\frac{x}2$%. Мы домножаем эту величину на $%\frac{z+z^{-1}}2=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2=\cos x$%, и получается, что действительная часть всего рассматриваемого выражения равна $%\cos x\ln(2\cos\frac{x}2)-\frac12+\frac14\cos x$%.

ссылка

отвечен 27 Ноя '17 20:31

изменен 28 Ноя '17 19:08

"Заметим, что $$ln(1 + e^{ix}) = 1 + \cos x + i\sin x$$" А как мы это замечаем и из чего это следует? (или там просто логарифм потерялся?)

(28 Ноя '17 17:47) игрек

@игрек: конечно, там логарифм лишний. Это явная опечатка, я сейчас её исправлю. Мы сначала должны найти произведение без логарифма, и только потом добавить ln.

(28 Ноя '17 19:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,502
×602
×50

задан
27 Ноя '17 13:52

показан
159 раз

обновлен
28 Ноя '17 19:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru