Помогите найти интервал сходимости степенного ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}x^n$$

задан 11 Мар '13 17:35

изменен 13 Мар '13 15:47

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $$a_n=\frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}.$$ Извлечём корень $%n$%-й степени; ясно, что $$a_n^{1/n}=\frac{3}{\sqrt{2}\,\sqrt[2n]{3n-1}}\to\frac{3}{\sqrt{2}}$$ при $%n\to\infty$%. Радиус сходимости ряда находится по формуле Коши, и он равен величине, обратной (верхнему) пределу последовательности $%\sqrt[n]{a_n}$%. В данном случае $%R=\sqrt{2}/3$%. Таким образом, степенной ряд сходится при всех $%|x| < R$% и расходится при $%|x| > R$%. Осталось установить, что происходит на концах интервала.

При $%x=R$% получается ряд с общим членом $%1/\sqrt{3n-1}$%; он расходится (можно сравнить с гармоническим рядом). При $%x=-R$% получается знакочередующийся ряд, у которого модуль $%n$%-го члена монотонно стремится к нулю. Такой ряд сходится по признаку Лейбница.

Итого имеем $%x\in[-\sqrt{2}/3,\sqrt{2}/3)$% для области сходимости ряда.

ссылка

отвечен 11 Мар '13 17:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Радиус сходимости ряда можно вычислить по формуле Коши-Адамара $$R=\dfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}{\sqrt[n]{|a_n|}}}.$$ Для ряда $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}x^n$% имеем $%a_n=\frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}$%, следовательно, $$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}{\sqrt[n]{|a_n|}}=\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n] \frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3}{{\sqrt[n] {2^{\tfrac{n}{2}}}\cdot\sqrt[2n]{3n-1}}}= \\ =\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{3}{2^{\tfrac{1}{2}}{\sqrt[2n]{3n-1}}}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}},$$ поскольку $%\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[2n]{3n-1}}=1.$% Значит, $$R=\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$$

ссылка

отвечен 11 Мар '13 17:55

изменен 19 Мар '13 22:41

@Mather: Тут надо чуть подправить (в двух местах): $%3n-1$% должно быть под знаком радикала не $%n$%-й, а $%2n$%-й степени.

(11 Мар '13 22:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×524
×271
×192

задан
11 Мар '13 17:35

показан
5162 раза

обновлен
19 Мар '13 22:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru