|
Помогите найти интервал сходимости степенного ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}x^n$$ задан 11 Мар '13 17:35 
lodger |
|
Пусть $$a_n=\frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}.$$ Извлечём корень $%n$%-й степени; ясно, что $$a_n^{1/n}=\frac{3}{\sqrt{2}\,\sqrt[2n]{3n-1}}\to\frac{3}{\sqrt{2}}$$ при $%n\to\infty$%. Радиус сходимости ряда находится по формуле Коши, и он равен величине, обратной (верхнему) пределу последовательности $%\sqrt[n]{a_n}$%. В данном случае $%R=\sqrt{2}/3$%. Таким образом, степенной ряд сходится при всех $%|x| < R$% и расходится при $%|x| > R$%. Осталось установить, что происходит на концах интервала. При $%x=R$% получается ряд с общим членом $%1/\sqrt{3n-1}$%; он расходится (можно сравнить с гармоническим рядом). При $%x=-R$% получается знакочередующийся ряд, у которого модуль $%n$%-го члена монотонно стремится к нулю. Такой ряд сходится по признаку Лейбница. Итого имеем $%x\in[-\sqrt{2}/3,\sqrt{2}/3)$% для области сходимости ряда. отвечен 11 Мар '13 17:55 
falcao |
|
Радиус сходимости ряда можно вычислить по формуле Коши-Адамара $$R=\dfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}{\sqrt[n]{|a_n|}}}.$$ Для ряда $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}x^n$% имеем $%a_n=\frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}$%, следовательно, $$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}{\sqrt[n]{|a_n|}}=\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n] \frac{3^n}{\sqrt{2^n(3n-1)}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3}{{\sqrt[n] {2^{\tfrac{n}{2}}}\cdot\sqrt[2n]{3n-1}}}= \\ =\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{3}{2^{\tfrac{1}{2}}{\sqrt[2n]{3n-1}}}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}},$$ поскольку $%\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[2n]{3n-1}}=1.$% Значит, $$R=\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$$ отвечен 11 Мар '13 17:55 
Mather |