Здравствуйте, подскажите пожалуйста как решить следующую задачу: Необходимо найти многочлен второй степени p(t)=at^2+bt+c, наилучшим образом приближаются функцию x(t)=t^4 в пространстве L2[0,1]. Подскажите, как мы можем связать эту задачу с задачей нахождения проекции функции x(t) на подпространство в том же пространстве,которое натянуто на функции 1, t, t^2? Заранее спасибо! Я просто совсем не понимаю, как это решать

задан 27 Ноя '17 23:34

10|600 символов нужно символов осталось
0

При желании, задачу можно решить вручную безо всякой теории. Рассмотрим интеграл $%\int_0^1(t^4-(at^2+bt+c))^2\,dt$%. Он вычисляется в явном виде; получается функция трёх переменных $%F(a,b,c)$%, представляющая собой квадратичную форму от $%a$%, $%b$%, $%c$%. Надо найти её наименьшее значение. Здесь можно применить метод Лагранжа выделения точных квадратов. Можно вместо этого найти частные производные по всем переменных, приравнивая их нулю. Это даёт систему линейных уравнений. Она решается стандартными методами, и получаются значения $%a=12/7$%, $%b=-32/35$%, $%c=3/35$%.

Интересно посмотреть на то, как ведут себя графики. Они действительно получаются очень близкими, а расстояние равно $%\frac{16}{105}$%.

Вместо этого можно использовать готовые формулы для ортогональных систем многочленов в $%L_2[0,1]$%, находя проекцию вектора на подпространство. В принципе, это почти то же самое в плане вычислений.

ссылка

отвечен 28 Ноя '17 0:16

Что,если использовать теорию здесь, и подскажите, пожалуйста, как появляется значение 16/105?

(28 Ноя '17 0:51) Anton1988

@Anton1988: когда числа a, b, c найдены, подставляем их в интеграл и считаем. Потом извлекаем корень.

Использование теории ведёт к тем же уравнениям. Там ничего нового не будет. Вектор t^4 проектируем на подпространство, порождённое 1, t, t^2, то есть представляем в виде t^4=at^2+bt+c+v, где v=t^4-(at^2+bt+c) ортогонален каждому из трёх векторов 1, t, t^2. Это даёт скалярные произведения, равные нулю, то есть три уравнения. Они совпадают с теми, про которые я писал.

(28 Ноя '17 1:25) falcao

Скажите, пожалуйста, откуда взялся интеграл, я имею ввиду то,почему мы решили минимизировать значение интеграла?

(30 Ноя '17 4:36) Anton1988

Я не понимаю, о каких скалярных произведениях, равных нулю,идет речь? Какие это три уравнения?

(1 Дек '17 0:33) Anton1988

@Anton1988: из ортогональности, о которой было сказано, следует, что скалярные произведения равны нулю. Это (v,1)=0, (v,t)=0, и (v,t^2)=0. Расписываем каждое из уравнений по линейности. Например, для последнего будет 0=(v,t^2)=(t^4,t^2)-a(t^2,t^2)-b(t,t^2)-c(1,t^2). Это даёт линейное уравнение относительно a,b,c. Коэффициенты, то есть скалярные произведения, находим через интегралы. Скажем, (t^4,t^2)=\int_0^1 t^{6} dt = 1/7, и так далее.

(1 Дек '17 1:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,818
×46

задан
27 Ноя '17 23:34

показан
66 раз

обновлен
1 Дек '17 1:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru