Условие: Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0.7. Х - число попаданий в цель при 4 - ёх выстрелах.

Вопрос: Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х. Вычислить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение!

Если можно с комментариями (подробнее). Заранее спасибо!

задан 11 Мар '13 17:58

изменен 11 Мар '13 20:37

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Положим $%p=0,7$% (вероятность попадания при одном выстреле), $%q=1-p=0,3$% (вероятность непопадания), $%n=4$% (количество выстрелов). Тогда биномиальный закон распределения случайной величины $%X$% имеет вид $$P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k},$$ где $%k=0,1,2,3,4$%.

Смысл выражения $%P(X=k)$% -- вероятность того, что было сделано ровно $%k$% попаданий.

Биномиальные коэффициенты $%C_4^k$% соответственно равны $%1,4,6,4,1$% при указанных выше значениях $%k$%. Таким образом,

$%P(X=0)=q^4=0,0081$%

$%P(X=1)=4pq^3=0,0756$%

$%P(X=2)=6p^2q^2=0,2646$%

$%P(X=3)=4p^3q=0,4116$%

$%P(X=4)=p^4=0,2401$%

Математическое ожидание (среднее значение) величины $%X$% можно найти через эти вероятности по формуле $%0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)$%, но это было бы слишком громоздко. Проще всего заметить, что при одном выстреле матожидание составляет $%1\cdot0,7 +0\cdot0,3=0,7$%, а при четырёх выстрелах оно в $%4$% раза увеличивается, то есть $%MX=4\cdot0,7=2,8$%.

Далее находим дисперсию. Для одного выстрела, дисперсия равна $%pq$%, согласно известной формуле. У независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий, поэтому $%DX=4pq=0,84$%. Наконец, для среднеквадратического отклонения имеем $%\sigma=\sqrt{DX}=\sqrt{0,84}\approx0,9165$%.

ссылка

отвечен 11 Мар '13 18:38

Спасибо большое, правда не совсем понял формулу для нахождения дисперсии.Нашел ёё по "старинке" из мат. ожидания по квадрату вычел квадрат мат. ожидания - ответ сошелся . Спасибо)

(11 Мар '13 20:13) prado777

@prado777: Дисперсия в точности так и находится! Я не стал это вычисление приводить, потому что оно простое, а сама формула в таких задачах очень часто используется.

(11 Мар '13 20:15) falcao

@falcao, Вы прямо Мать Тереза! Задание совершенно стандартное, зачем же решать так подроно? Лентяям помогаете?

(12 Мар '13 13:50) DocentI

@DocentI: я согласен с Вами, что задача более чем стандартна. Но тут попросили объяснить подробно, что я и сделал. Ведь когда я читаю лекции, я тоже рассказываю студентам стандартные вещи. Конечно, можно всё прочитать в книгах, но не все знают, где надо искать. А давать ссылки на страницы из литературы для меня дольше, чем объяснить "с нуля". Тут, как я понимаю, люди не просто переписывают решение и сдают его, но пытаются всё осмыслить в деталях. Поэтому я и иду им навстречу.

(12 Мар '13 14:07) falcao

А почему Вы так думаете? Сколько уже тут пребывало неучей и лентяев, даже был скандал с онлайн-олимпиадой. Лучший способ проверить - попросить предъявить попытки.

(12 Мар '13 14:14) DocentI

Это довольно сложный вопрос, и каждый раз приходится его решать индивидуально -- отвечать или нет. А также выбирать степень детальности изложения. Общих правил тут почти нет. В данном случае была просьба разъяснить процедуру решения как бы "с нуля". Было ясно, что человек, который спрашивает, хочет в этом деле разобраться. По задаваемым "встречным" вопросам видно, что вся информация была усвоена, а не просто переписана и сдана. С онлайновыми олимпиадами я помню случай, но тут просто надо проявлять бдительность. И есть ещё одно соображение: я считаю полезным задавать образец оформления.

(12 Мар '13 18:02) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,576

задан
11 Мар '13 17:58

показан
3529 раз

обновлен
12 Мар '13 18:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru