теория-вероятностей - Биноминальный закон распределения

Положим $%p=0,7$% (вероятность попадания при одном выстреле), $%q=1-p=0,3$% (вероятность непопадания), $%n=4$% (количество выстрелов). Тогда биномиальный закон распределения случайной величины $%X$% имеет вид $$P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k},$$ где $%k=0,1,2,3,4$%.

Смысл выражения $%P(X=k)$% -- вероятность того, что было сделано ровно $%k$% попаданий.

Биномиальные коэффициенты $%C_4^k$% соответственно равны $%1,4,6,4,1$% при указанных выше значениях $%k$%. Таким образом,

$%P(X=0)=q^4=0,0081$%

$%P(X=1)=4pq^3=0,0756$%

$%P(X=2)=6p^2q^2=0,2646$%

$%P(X=3)=4p^3q=0,4116$%

$%P(X=4)=p^4=0,2401$%

Математическое ожидание (среднее значение) величины $%X$% можно найти через эти вероятности по формуле $%0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)$%, но это было бы слишком громоздко. Проще всего заметить, что при одном выстреле матожидание составляет $%1\cdot0,7 +0\cdot0,3=0,7$%, а при четырёх выстрелах оно в $%4$% раза увеличивается, то есть $%MX=4\cdot0,7=2,8$%.

Далее находим дисперсию. Для одного выстрела, дисперсия равна $%pq$%, согласно известной формуле. У независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий, поэтому $%DX=4pq=0,84$%. Наконец, для среднеквадратического отклонения имеем $%\sigma=\sqrt{DX}=\sqrt{0,84}\approx0,9165$%.