|
Помогите вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировать его почленно. $$\int_{0}^{0.5}\frac{sinx^2}{x^2}dx$$ Очень благодарен за помощь. задан 11 Мар '13 18:42 
lodger |
Вопрос был закрыт. Причина - "Домашнее задание". Закрывший - DocentI 12 Мар '13 13:57
|
По формуле Тейлора (в точке $%x=0$%), синус имеет следующее разложение в степенной ряд: $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots.$$ Этот ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой. Для подынтегральной функции мы имеем $$\frac{\sin x^2}{x^2}=1-\frac{x^4}6+\alpha(x),$$ где $$\alpha(x)=\frac{x^8}{5!}-\frac{x^{12}}{7!}+\cdots,$$ и эту сумму можно оценить с учётом того, что она представляет собой знакочередующуюся сумму для монотонно убывающей последовательности. Для всякой такого ряда вида $%a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots$%, где $%a_1 > a_2 > a_3 > \cdots$%, его сумма положительна ввиду группировки $%(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots$%, и она меньше первого члена $%a_1$% ввиду группировки $%a_1-(a_2-a_3)-\cdots$%. Здесь можно заметить, что ввиду абсолютной сходимости рассматриваемого ряда, его члены можно перегруппировывать как угодно. Таким образом, при $%0\le x\le0,5$% справедливы неравенства $$0 < \alpha(x) < \frac{x^8}{5!}\le\frac1{2^8\cdot120}=\varepsilon.$$ Интегрирование по отрезку длиной $%1/2$%, если мы пренебрегаем величиной $%\alpha(x)$%, приводит к ошибке меньше $%\varepsilon/2$%, что меньше $%2\cdot10^{-5}$%. Таким образом, осталось лишь проинтегрировать функцию без учёта $%\alpha(x)$%, то есть найти интеграл $$\int\limits_0^{1/2}\left(1-\frac{x^4}{6}\right)\,dx=\frac12-\frac1{960}\approx0,4989583333,$$ что и будет являться приближённым значением искомого интеграла с требуемой точностью (на самом деле, ещё более высокой). отвечен 11 Мар '13 19:18 
falcao |
|
$$\sin{x^2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\dfrac{(x^2)^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\dfrac{x^{4k+2}}{(2k+1)!}}$$ Поскольку ряд является знакочередующимся, частичная сумма ряда отличается от суммы всего ряда не более чем на величину первого отбрасываемого члена. Таким образом, для достижения требуемой точности должно выполняться условие $$ \dfrac{x^{4k+2}}{(2k+1)!} < 0.001. \tag{1} $$ Учитывая возрастание функции $%x^{4k+2},$% из ($%1$%) получим неравенство для $%k:$% $$ \dfrac{0.5^{4k+2}}{(2k+1)!} < 0.001, $$ откуда $$ {2^{4k+2}}(2k+1)! > {1000} $$ Это неравенство будет выполняться для $%k\geqslant {2},$% так как $%2^{10}=1024 > 1000.$% Следовательно, для достижения требуемой точности достаточно взять три первых члена ряда. $$ \int\limits_{0}^{0.5}{\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}dx}\approx \int\limits_{0}^{0.5}{\left(1-\dfrac{x^4}{3!}+\dfrac{x^{8}}{5!}\right)dx}. $$ отвечен 11 Мар '13 19:33 
Mather Я заменил у Вас метку формулы на (1), потому что "звёздочки" редактор формул неправильно отображает, в результате чего текст искажается. Член ряда десятой степени, кстати, тут можно не брать, потому что в силу указанных Вами неравенств, достаточно малой оказывается сумма ряда, начиная с этого члена. То есть, ей можно пренебречь, и этот член уходит.
(11 Мар '13 19:42)
falcao
Люди! Кончайте решать стандартные учебные задания! В крайнем случае можно подсказать немного. Пусть ТС покажет свои попытки, а мы поправим!
(12 Мар '13 13:56)
DocentI
|