Рассматривается задача оценивания дисперсии $%\theta_2^2$% в нормальной модели $%N(\theta_1,\theta_2^2)$% по выборке $%X=(X_1,...,X_n)$%. Пусть $%S_0^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n(X_i-\overline{X})^2$%
Найти оптимальную оценку вида $%T_\lambda=\lambda S_0^2$%, минимизирующую меру $%\mathbb{E}\theta(T\lambda-\theta_2^2)^4$%. Подскажите, пожалуйста, с чего начать

задан 30 Ноя '17 0:58

изменен 1 Дек '17 1:27

10|600 символов нужно символов осталось
0

Насколько я понимаю (хотя могу и ошибаться) для минимизации меры, нужно вспомнить про распределение статистики, участвующей в оценке...

Как известно (Теорема 1.5 на стр 14), статистика $$ \frac{(n-1)\cdot S_0^2}{\theta_2^2} = \frac{\sum\limits_{k=1}^{n} (X_k-\overline{X})^2}{\theta_2^2} \sim \chi_{n-1}^2 $$ Для распределения Пирсона $%\chi_{m}^2$% известны начальные моменты $$ M(\chi_{m}^2) = m, \quad M\Big[(\chi_{m}^2)^2\Big] = m(m+2), \\ M\Big[(\chi_{m}^2)^3\Big] = m(m+2)(m+4), \quad M\Big[(\chi_{m}^2)^4\Big] = m(m+2)(m+4)(m+6) $$

Тогда меру можно переписать в следующем виде $$ M\Big(T_{\lambda} - \theta_2^2\Big)^4 = \theta_2^8 \cdot M\left(\tau \cdot \chi_{n-1}^2 - 1\right)^4 = $$ $$ = \theta_2^8 \cdot \Big( (n-1)\cdot(n+1)\cdot(n+3)\cdot(n+5)\cdot\tau^4 - 4\cdot (n-1)\cdot(n+1)\cdot(n+3)\cdot \tau^3 \\ + 6 \cdot (n-1)\cdot(n+1)\cdot \tau ^2 -4 \cdot(n-1)\cdot \tau -1\Big), $$ где $%\tau = \dfrac{\lambda}{n-1}$% ...

Дальше находим нуль производной $$ (n+1)\cdot(n+3)\cdot(n+5)\cdot\tau^3 - 3\cdot (n+1)\cdot(n+3)\cdot \tau^2 + 3 \cdot (n+1)\cdot \tau -1 =0 $$ Правда не знаю, найдётся ли здесь решение в явном виде...

ссылка

отвечен 1 Дек '17 20:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×237
×137
×23

задан
30 Ноя '17 0:58

показан
818 раз

обновлен
1 Дек '17 20:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru