высшая-математика - Линейная алгебра. Кольца и поля.

1) Множество матриц $%M_n({\mathbb Z}_p)$% будет векторным пространством над полем $%F={\mathbb Z}_p$%, так как матрицы складываются и умножаются на числа поэлементно. В этом смысле их можно записывать в виде одной длинной строки. И получится векторное пространство $%F^{n^2}$% размерности $%n^2$%.

Базис такого пространства матриц состоит из так называемых матричных единиц. Это матрицы вида $%e_{ij}$%, у которых все матричные элементы равны нулю, кроме одного, стоящего на пересечении $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца и равного единице. Такой базис состоит из $%n^2$% элементов.

Количество элементов множества $%M_n({\mathbb Z}_p)$% равно $%p^{n^2}$%: на каждом из $%n^2$% мест может стоять любой из $%p$% элементов поля.

Множество матриц $%GL_n(F)$%, состоящее из всех невырожденных квадратных матриц порядка $%n$%, векторное пространство не образует. Это множество не замкнуто относительно операции сложения. Действительно, сумма невырожденных матриц $%E$% и $%-E$% является нулевой, а потому вырожденной. (Здесь $%E$% обозначает единичную матрицу.)

Осталось найти количество элементов множества $%GL_n(F)$%. Каждая невырожденная матрица однозначно определяется системой своих строк $%v_1,\ldots,v_n$%, и эта система должна быть линейно независимой. Поэтому достаточно подсчитать число линейно независимых систем из $%n$% векторов в пространстве $%F^n$%, состоящем из $%p^n$% элементов.

В качестве вектора $%v_1$% подходит любой ненулевой вектор, и он может быть выбран $%p^n-1$% способом. Вектор $%v_2$% должен быть неколлинеарен вектору $%v_1$%. Коллинеарных векторов столько же, сколько скаляров, то есть $%p$%. Поэтому для $%v_2$% имеется $%p^n-p$% способов выбора. Вектор $%v_3$% не должен принадлежать подпространству, порождённому векторами $%v_1$% и $%v_2$%. Такое подпространство двумерно, и в нём $%p^2$% векторов. Они нам не подходят, а остальные $%p^n-p^2$% векторов подходят в качестве $%v_3$%. Продолжая аналогично, мы для вектора $%v_n$% имеем $%p^n-p^{n-1}$% способов выбора. Согласно правилу произведения, систему строк $%v_1,\ldots,v_n$% мы можем задать в точности $$(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)\cdots(p^n-p^{n-1})$$ способами, и это есть количество элементов множества $%GL_n(F)$%.

2) Пусть $%M=\{x_1,\ldots,x_n\}$%. С каждым подмножеством этого множества можно связать его "код". Это вектор из нулей и единиц, в котором мы пишем на $%i$%-м месте единицу, если $%x_i$% принадлежит подмножеству, и ноль, если не принадлежит. При этом можно считать, что векторы берутся из пространства $%{\mathbb Z}_2^n$%. Операции симметрической разности множеств соответствует в точности сложение их кодов в этом пространстве. Отсюда ясно, что мы имеем векторное пространство над $%{\mathbb Z}_2$%.

В качестве базиса можно взять единичные векторы, и они соответствуют одноэлементным множествам. Это будет базис пространства $%2^M$%. В базисе $%n$% элементов, и размерность равна $%n$%.

Подмножества, состоящие из чётного числа элементов, будут образовывать подпространство, так как им соответствуют векторы с чётным числом единиц. При их сложении количество единиц останется чётным, так как в суммах $%1+1=0$% единицы исчезают парами. Замкнутость относительно умножения на скаляр тоже имеет место, так как при умножении на $%1$% вектор не меняется, а после умножения на $%0$% получается $%0$% единиц, то есть чётное число.

Подмножества, состоящие из нечётного числа элементов, не будут образовывать подпространство, так как в этом случае у нас отсутствует нулевой вектор -- пустое множество.

3) Это задача, по сути дела, на интерполяционный многочлен Лагранжа. Фактически, он здесь должен быть построен. Начнём с того, что для каждого $%i$% от $%1$% до $%n+1$% (далее $%i$% всегда будет принимать только такие значения) мы перемножаем все двучлены из списка $$x-a_1,x-a_2,\ldots,x-a_{n+1}$$ за исключением двучлена $%x-a_i$%. Это произведение будет многочленом степени $%n$% со старшим коэффициентом $%1$%, обращающимся в ноль при всех $%x=a_1,\ldots,a_{n+1}$% кроме $%a_i$%. Обозначим это произведение через $%f_i(x)$%.

Ясно, что $%f_i(a_i)\ne0$%, так как мы имеем дело с попарно различными числами. Поэтому $%f_i(x)$% можно разделить на $%f_i(a_i)$%, получая тем самым многочлен $%\omega_i(x)$%. Он обладает тем свойством, что $%\omega_i(a_i)=1$%, и $%\omega_i(a_j)=0$% при всех $%j\neq i$%.

Проверим, что система многочленов $%\omega_1(x),\ldots,\omega_{n+1}(x)$% образует базис в пространстве многочленов степени не выше $%n$%. Их явный вид был уже найден. Прежде всего, покажем как разложить по ним произвольный многочлен $%f(x)$% степени не выше $%n$%. Положим $%b_i=f(a_i)$%, и рассмотрим многочлен $%\bar{f}(x)=b_1\omega_1(x)+\cdots+b_{n+1}\omega_{n+1}(x)$%. Утверждается, что это сам многочлен $%f(x)$% и есть. Действительно, в каждой точке $%a_i$% значение многочлена $%\bar{f}$% равно $%b_i$%, то есть совпадает со значением $%f$% в той же точке. А это значит, что разность $%f-\bar{f}$% обращается в ноль во всех точках $%a_1,\ldots,a_{n+1}$%. Такое может быть лишь тогда, когда многочлен будет тожественно нулевым, то есть $%\bar{f}=f$%. Таким образом, $$f(x)=b_1\omega_1(x)+\cdots+b_{n+1}\omega_{n+1}(x),$$ то есть произвольно взятый многочлен пространства можно линейно разложить по векторам вида $%\omega_i$%. Это разложение является единственным, так как из равенства, приведённого выше, следует, что $%b_i=f(a_i)$%, то есть коэффициенты не могут быть другими для заданного $%f$%. Таким образом, нами построен искомый базис.