высшая-математика - Линейная алгебра. Основные алгебраические структуры. Поля.

1) Для всякой функции $%f(x)$% рассмотрим числа $%b_i=f(a_i)$%, где $%1\le i\le n+1$%. Пусть $%p(x)$% -- интерполяционный многочлен Лагранжа, принимающий в точке $%a_i$% значение $%b_i$% для всех $%1\le i\le n+1$%. Его степень не превосходит $%n$%, то есть он принадлежит подпространству многочленов степени не выше $%n$%.

Положим $%g(x)=f(x)-p(x)$%. Это непрерывная функция, так как многочлен непрерывен. Ясно, что для всех $%i$% от $%1$% до $%n+1$% имеет место равенство $%g(a_i)=f(a_i)-p(a_i)=b_i-b_i=0$%. Это значит, что $%g(x)$% принадлежит подпространству функций, обращающихся в ноль в каждой из точек $%a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}$%.

Ввиду того, что имеет место равенство $%f(x)=p(x)+g(x)$%, пространство непрерывных функций будет суммой двух рассматриваемых подпространств. Эта сумма будет прямой, поскольку разложение такого вида единственно. Действительно, если мы подставим значения $%x=a_i$%, то окажется, что $%p(a_i)=f(a_i)-g(a_i)=b_i-0=b_i$%, но многочлен $%p(x)$% степени не более $%n$% с таким свойством всего один (ссылка на единственность интерполяционного многочлена). Тем самым, $%p(x)$% восстанавливается по $%f(x)$% однозначно, и то же для $%g(x)=f(x)-p(x)$%.

2) Пространство многочленов степени не выше $%n$% имеет размерность $%n+1$% и обладает базисом $%1,x,x^2,\ldots,x^n$% из степеней $%x$%. Пусть многочлен $%f(x)$% имеет действительный корень $%a$%. Тогда по теореме Безу он делится на двучлен $%x-a$%, то есть $%f(x)=(x-a)g(x)$% для некоторого многочлена $%g$% степени не выше $%n-1$%. Разлагая $%g$% по одночленам, мы приходим к такому базису рассматриваемого подпространства многочленов с корнем $%a$%: $$x-a,(x-a)x,(x-a),x^2,\ldots,(x-a)x^{n-1}.$$ Размерность подпространства равна $%n$%.

Если $%a$% -- мнимый корень многочлена $%f(x)$% с действительными коэффициентами, то комплексно-сопряжённое число $%\bar{a}$% также будет корнем $%f(x)$%. В этом случае степень $%f$% не меньше двух, а потому $%n\ge2$%. Применяя дважды теорему Безу для многочленов с комплексными коэффициентами, мы получим $%f(x)=(x-a)(x-\bar{a})h(x)$% для некоторого многочлена $%h(x)$%. Он имеет действительные коэффициенты, потому что этим свойством обладает квадратный трёхчлен $%(x-a)(x-\bar{a})=x^2-px+q$%, где $%p=a+\bar{a}$%, $%q=a\bar{a}$% -- действительные числа.

Далее разложим $%h(x)$% по степеням переменной, и это даст следующий базис в подпространстве многочленов с мнимым корнем $%a$%: $$x^2-px+q, (x^2-px+q)x, (x^2-px+q)x^2, \ldots, (x^2-px+q)x^{n-2}.$$ В этом базисе $%n-1$% элемент; такова же размерность подпространства.

3) Изоморфизм устроен так: берём многочлен $%f(x)$% с корнем $%a$% и делим его на $%x-a$%. Это даёт взаимно-однозначное соответствие между рассматриваемым подпространством и пространством многочленов степени не выше $%n-1$%. Последнее изоморфно арифметическому пространству $%{\mathbb R}^n$%, где многочлену $%g(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}$% сопоставляется $%n$%-мерный вектор $%(c_0,c_1,\ldots,c_{n-1})$% из коэффициентов. Все указанные операции линейны, так как сохраняют сумму и произведение на скаляр.