высшая-математика - Поле. Линейная алгебра

1) Здесь надо сначала проверить, что сложение и умножение матриц указанного вида приводят к матрицам такого же вида, то есть на множестве $%R(F)$% действительно имеются две операции. Проверка того, что получается ассоциативное кольцо с единицей, труда не составляет. Коммутативный закон для матриц в общем случае не имеет места, но здесь он проверяется непосредственно: надо перемножить две матрицы с буквенными коэффициентами в одном и в другом порядке, и убедиться, что всё совпадает.

2) Пусть дана ненулевая матрица из $%R(F)$%, где $%F={\mathbb R}$%. Надо убедиться в том, что у неё есть обратная. Чтобы не рисовать всю матрицу, я введу обозначение $%M(a,b)$% для матрицы, указанной в условии. Если её умножить на матрицу $%M(a,-b)$%, то получится диагональная матрица с числом $%a^2+b^2$% на диагонали, то есть $%(a^2+b^2)E$%, где $%E$% -- единичная матрица. Далее всё зависит от того, можем ли мы разделить на $%a^2+b^2$%.

Для случая $%F={\mathbb R}$% это возможно, так как матрица была ненулевая, то есть $%a\neq0$% или $%b\neq0$%. А тогда $%d=a^2+b^2>0$%, и на это число можно поделить. Произведение $%M(a,b)$% на $%M(a/d,-b/d)$% будет уже равно $%E$%, то есть обратимость ненулевых элементов кольца имеет место. Значит, мы имеем поле.

Оно будет изоморфно полю $%{\mathbb C}$% комплексных чисел, потому что $%M(a,b)+M(c,d)=M(a+c,b+d)$%, и по такому же точно закону складываются комплексные числа $%a+bi$% и $%c+di$%. А при перемножении матриц мы имеем $%M(a,b)\cdot M(c,d)=M(ac-bd,ad+bc)$%. Это соответствует равенству $%(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$%.

3) Для поля $%F={\mathbb Q}$% рассматриваемые матрицы образуют поле, как и в случае выше. Доказательство полностью аналогично, и надо заметить, что число $%d=a^2+b^2$% окажется положительным рациональным, если числа $%a,b\in{\mathbb Q}$% не равны нулю одновременно.

Для поля $%F={\mathbb C}$% всё уже будет не так. Дело в том, что при $%a=1$%, $%b=i$% имеет место равенство $%a^2+b^2=0$%, и на $%0$% здесь поделить уже нельзя. Необратимость матрицы $%M(1,i)$% связана с тем, что её определитель будет равен нулю, в то время как она сама -- ненулевая.

4) Это более сложная задача, и тут нужно привлекать некоторые сведения из теории чисел. Прежде всего, для случая $%F={\mathbb Z}_2$% поле не получится, так как матрица $%M(1,1)$% имеет нулевой определитель. Пусть $%p$% -- нечётное простое число. Известен такой факт, что если $%p=4k+1$%, где $%k$% целое, то для некоторого целого $%x$% число $%x^2+1$% делится на $%p$%. (Например, при $%p=5$% подходит $%x=2$%, при $%p=13$% подходит $%x=5$% и так далее.) Тогда матрица $%M(1,x)$% будет иметь определитель $%x^2+1$%, делящийся на $%p$%, и потому она задаёт ненулевую матрицу над $%{\mathbb Z}_p$% с нулевым определителем. То есть для этих значений $%p$% поле не получается.

Если же $%p=4k+3$%, где $%k$% целое, то для таких чисел известно, что $%a^2+b^2$% (при целых значениях $%a,b$%) делится на $%p$% только в том случае, когда оба числа $%a,b$% кратны $%p$%. Отсюда следует, что ненулевая матрица $%M(a,b)$% над полем $%{\mathbb Z}_p$% будет иметь ненулевой определитель, а потому она обратима.

Тем самым, простое число $%p$% должно иметь вид $%p=4k+3$% (то есть $%p=3,7,11,19,\ldots$% и так далее). В этом и только в этом случае рассматриваемое кольцо матриц $%R({\mathbb Z}_p)$% будет являться полем.