|
Помогите, пожалуйста, найти частное решение дифференциального уравнения $$y''-2y'+y=16e^x$$, удовлетворяющее начальным условиям $$y(0)=1; \; y'(0)=2$$ задан 12 Мар '13 8:23 
bull
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Здесь можно ввести замену $%z=y'-y$%. Тогда $%y''-2y'+y=z'-z=f(x)$%, после чего сначала находим $%z$%, решая уравнение первой степени, а затем находим $%y$% тем же способом, зная $%z$%. Уравнение $%z'-z=f(x)$% решается при помощи подстановки вида $%z(x)=C(x)e^x$%, где $%C(x)$% -- неизвестная функция. Надо уточнить вид функции $%f(x)$% в задании, потому что пока он имеет вид "$%16$% в степени $%x$% с индексом $%e$%", но это непонятное выражение. отвечен 12 Мар '13 9:24 
falcao Не правильно переписал $%y''-2y'+y=16e^x$%, и пожалуйста расскажите как получается $%z'-z$%?
(12 Мар '13 9:42)
bull
Если $%16e^x$%, то тогда всё нормально. Выражение $%z'-z$% получается так: $%y''-2y'+y=(y'-y)'-(y'-y)=z'-z$%.
(12 Мар '13 9:53)
falcao
$%\frac{\frac{dz(x)}{dx}}{e^x}-e^{-x}z(x)=16\;$% введем замену $%-e^{-x}=\frac{d}{dx}(e^{-x})\;$% и получим $%z(x)\frac{d}{dx}(e^{-x})+\frac{\frac{dz(x)}{dx}}{e^x}=16\;$% а вот дальше не знаю как.
(12 Мар '13 10:57)
bull
Надо $%z(x)$% искать в виде $%z(x)=C(x)e^x$%. Тогда $%z'(x)=C'(x)e^x+C(x)e^x$%, то есть $%z'(x)-z(x)=C'(x)e^x=16e^x$%, то есть $%C'(x)=16$%. Далее всё находится с учётом начальных условий.
(12 Мар '13 12:45)
falcao
т.е. мои предыдущие "вычисления" лишние? $%z=16e^x$%
(12 Мар '13 12:56)
bull
Никаких многоэтажных дробей там, конечно, не надо. Но пока $%z$% найдено неправильно. Ведь это $%C'(x)$% равно $%16$%, а не само $%C(x)$%.
(12 Мар '13 13:59)
falcao
1
Зачем такие сложности? Это уравнение с постоянными коэффиентами, правая часть тоже стандартная. Есть общая формула.
(12 Мар '13 19:12)
DocentI
Но ведь формула не сама по себе возникает, а выводится этим способом, то есть методом вариации постоянной. Я считаю, что знать способы вывода формул полезнее, чем помнить их наизусть.
(12 Мар '13 20:07)
falcao
$%C(x)=c_1+16x => z(x)=e^x(c_1+16x)\;$% и для нахождения $%y$% небходимо решить $%y'-y=e^x(c_1+16x)\;$% так?
(13 Мар '13 15:16)
bull
показано 5 из 9
показать еще 4
|
|
Характеристическое уравнение имеет вид $%(\lambda -1)^2=0$%, так что общее решение имеет вид $%y=(C_1x+C_2)e^x$%. Правая часть пропорциональна той же степени $%e^x$%, так что частное решение ищем в виде $%ax^2e^x$%. отвечен 13 Мар '13 22:29 
DocentI |
А зачем Вы пишете общее задание, если вам надо решить только свой вариант? Производит не лучшее впечатление.
@bull: там внизу уже исчерпан лимит на количество комментариев, поэтому я пишу здесь. Это верно, что нужно решить то дифференциальное уравнение относительно $%y$%, которое Вы составили. Но сначала надо найти значение константы $%c_1$%. Это делается при помощи подстановки $%x=0$% с учётом начальных условий (значений функции и её производной в нуле). Потом, когда $%y$% будет найдено из уравнения, там снова появится константа, и её тем же способом надо будет найти.
@falcao, спасибо огромное. Получатся $%c_1=1$% и уравнение выгледит $%y'-y=e^x+16x\;$%. $%y'(x)=C'(x)(e^x+16x)+C(x)(e^x+16x)\;$% $%C'(x)=16e^x/e^x+16x C(x)=1$% или напутал? ))
@bull: значение константы $%c_1$% найдено правильно, но если его подставить в то, что у Вас было, то получится другая функция. Там $%e^x$% умножается на $%16x+c_1$%. Соответственно, надо перерешать, начиная с этого места.
Ошибся, получается $%C'(x)=16+1/x$%, тогда я не пойму чему будет равен C(x)?
@bull: Вообще-то в этом случае первообразная выражалась бы через логарифм, но этого всего нет, потому что на самом деле $%C'(x)=16x+1$% (проверьте). У Вас каким-то образом произошло лишнее деление на $%x$%.
$%C'(x)=e^x(16x+1)=16e^x$% вот так у меня получилось, либо я не правельную подстановку выполнил?
@bull: Вы решаете уравнение $%y'-y=(16x+1)e^x$%. Решение ищем в виде $%y=C(x)e^x$%, где $%C(x)$% означает новую неизвестную функцию (старое обозначение в этот момент нам уже не нужно, и мы его забываем). При этом $%y'-y=C'(x)e^x=(16x+1)e^x$%, то есть $%C'(x)=16x+1$%. Остаётся лишь проинтегрировать линейную функцию.