Столкнулся с такой задачей, которую мне нужно доказать, пользуясь индукцией и не используя ничего, кроме элементарного "школьного" аппарата. Задано натуральное $%k$%. При каких натуральных $%n > 1$% верно, что $%k^n > n^k$%? Я поэкспериментировал с малыми числами, пришёл к выводу, что ответ - при $%n > k$% и научился доказывать для $%n = k+1$%. А дальше абсолютно не понимаю, что можно сделать. Помогите, пожалуйста.

задан 3 Дек '17 17:37

изменен 3 Дек '17 21:40

@Shizofrenik: тут всё несколько хитрее. Если k=2, то неравенство 2^n > n^2 верно при n=1, а также при n>=5. То есть ответ n > k в общем случае неверен. Не удивительно, что не удалось доказать по индукции.

(3 Дек '17 20:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Видимо, подразумевается, что $%k\ge2$% -- натуральное число.

Если $%k=2$%, то неравенство $%2^n > n^2$% верно при отдельном значении $%n=1$%, а также при $%n\ge5$%. Проверка случая $%n=5$% тривиальна. Далее, если $%2^m > m^2$% при $%m\ge5$%, то для следующего значения получается $%2^{m+1} > 2m^2=m^2+m^2\ge m^2+5m > m^2+2m+1=(m+1)^2$%.

Теперь пусть $%k\ge3$%. Докажем, что здесь неравенство $%k^n > n^k$% верно при $%n\ge k+1$%. В качестве базы индукции рассматриваем неравенство $%k^{k+1} > (k+1)^k$%. Оно равносильно $%(1+\frac1k)^k < k$%, что верно, так как неравенство $%(1+\frac1k)^k < 3$% доказывается элементарными методами через биномиальное разложение, и $%3\le k$% (последнее важно, так как для $%k=2$% сам факт неверен).

Теперь шаг индукции: пусть $%k^m > m^k$% при некотором $%m\ge k+1$%. Тогда $%k^{m+1} > km^k > (m+1)^k$%. Последнее верно, так как $%(1+\frac1m)^k < (1+\frac1m)^m < 3\le k$%.

Заметим, что в последнем рассуждении из нестрогого неравенства $%k^m\ge m^k$% получается строгое неравенство $%k^{m+1} > (m+1)^k$% при $%m\ge k$%. Это значит, что достаточно одного этого соображения, и базу индукции при $%n=k+1$% можно было отдельно не рассматривать.

ссылка

отвечен 3 Дек '17 20:24

А как можно доказать, что другие варианты не подходят, т.е. при $%1 < n < k+1$%, неравенство не выполняется?

(3 Дек '17 21:00) Shizofrenik

@Shizofrenik: если числа не равны, и среди них есть 2, то мы про этот случай всё знаем. Если оба >=3, то меньшее принимаем за k. При этом получается n>=k+1, и большим из двух степеней оказывается k^n. То есть мы здесь имеем полное описание.

(3 Дек '17 21:14) falcao

Спасибо огромнейшее.

(3 Дек '17 21:18) Shizofrenik
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×337
×274
×79

задан
3 Дек '17 17:37

показан
341 раз

обновлен
3 Дек '17 21:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru