f имеет непрерывную вторую производную на всей числовой прямой, для любых x, e верно f(x + e) − f(x) = ef′(x + e/2). Доказать f (x) = ax2 + bx + c

задан 3 Дек '17 21:23

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для начала отметим, что $%x+\frac{\varepsilon}{2}$% является серединой отрезка $%[x; x+\varepsilon]$% ...

Продифференцируем равенство по иксу $$ f'(x+\varepsilon) - f'(x) = \varepsilon\cdot f''\left(x+\frac{\varepsilon}{2}\right) $$ Продифференцируем равенство по эпсилон $$ f'(x+\varepsilon) = f'\left(x+\frac{\varepsilon}{2}\right) + \frac{\varepsilon}{2}\cdot f''\left(x+\frac{\varepsilon}{2}\right) $$ $$ f'(x+\varepsilon) - f'\left(x+\frac{\varepsilon}{2}\right) = \frac{\varepsilon}{2}\cdot f''\left(x+\frac{\varepsilon}{2}\right) $$ Откуда, с учётом первого равенства получаем, что $$ \frac{\varepsilon}{2}\cdot f''\left(x+\frac{3\varepsilon}{4}\right) = \frac{\varepsilon}{2}\cdot f''\left(x+\frac{\varepsilon}{2}\right) $$ В силу произвольности икс и эпсилон получаем, что $%f''(x)=\text{const}$%...

ссылка

отвечен 3 Дек '17 22:56

Не совсем понятно как оказывается , что это ax^2+nyx+c?

(3 Дек '17 23:10) Alena18

проинтегрируйте два раза последнюю формулу...

(3 Дек '17 23:11) all_exist

Я делала так , взяла производную от равенства , получила f’(e)=ef’’(e/2)+f’(0), когда приняли x=0 , тогда f’’(e/2), f’(0)константы но путает e/2

(3 Дек '17 23:43) Alena18

@Alena18: здесь нужно дифференцировать по той и по другой переменной. Если этого не делать, получается сложное уравнение смешанного типа (функционально-дифференциальное). С ним работать труднее.

(4 Дек '17 0:08) falcao

Непонятны переходы в решении...

(4 Дек '17 0:26) Alena18

@Alena18: если взять первую из формул, и сделать в ней подстановку, заменяя x на x+e/2 и e на e/2, то получится левая часть последней из выделенных формул.

(4 Дек '17 0:30) falcao

А зачем нам нужна эта замена? Мне понятна дифференциация по x, но по e нет, и как в конце проинтегрировать?

(4 Дек '17 1:50) Alena18

@Alena18: потому что так повелел автор решения :)

Вы же просили объяснить переход, а он связан с тем, что левую часть предпоследнего равенства (разность двух производных) надо превратить в левую часть последнего. А для разности двух производных выше было выведено тождество, частным случаем которого является равенство для новых значений переменных.

(4 Дек '17 1:54) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×271

задан
3 Дек '17 21:23

показан
83 раза

обновлен
4 Дек '17 1:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru