|
Известно, что в гильбертовом пространстве существуют: сильная сходимость: $%x_n \to x$%, если $%\lim\limits_{n \to \infty} \|x_n-x\|=0$% слабая сходимость: $%x_n \rightharpoonup x$%, если $%\forall y\in H~\lim\limits_{n \to \infty} (x_n,y)=(x,y)$% Из сильной вытекает слабая. В процессе поиска литературы я обнаружил ещё покомпонентную сходимость, которая следует из слабой. Но я не помню сайт, где я её нашёл, поэтому прошу дать мне её определение для гильбертова пространства. Добавлено: благодаря ответу falcao, я вспомнил правильное определение. Если кому-то это пригодится, оставлю его здесь: Пусть $%\{e_k\}$% - полная ортонормированная система в $%H$%. Последовательность $%x_n\to x$% покомпонентно в $%H$%, если $%\lim\limits_{n \to \infty} (x_n,e_k)=(x,e_k) ~\forall k\geq 1$%. То, что она следует из слабой, легко показывается через теорему Рисса-Фреше. задан 13 Мар '13 7:45 
MathTrbl |
|
Насколько я понимаю, понятие покомпонентной сходимости относится не к гильбертовым пространствам вообще, а только к конкретным примерам таких пространств типа $%l_2$% (в противном случае неоткуда взять компоненты). В этом случае определение понятно: каждая точка в $%l_2$% есть последовательность определённого вида, и можно говорить о её $%k$%-й компоненте. Тогда последовательность векторов из $%l_2$% называется покомпонентно сходящейся к $%x\in l_2$%, если для любого натурального $%k$% последовательность $%k$%-х компонент этих векторов сходится к $%k$%-й компоненте $%x$%. Из слабой сходимости такая сходимость сразу следует, если положить в определении $%y=e_k$% (единичный вектор). Обратное неверно: можно взять $%y=(1/2,1/4,\ldots,1/2^n,\ldots)$%, и в качестве $%x_n$% рассмотреть векторы, у которых $%n$%-я компонента равна $%2^n$%, а все остальные равны нулю. Тогда покомпонентная сходимость к нулевому вектору очевидна (почти все члены равны нулю), а слабой сходимости нет, так как $%(x_n,y)=1$%. отвечен 13 Мар '13 8:46 
falcao Ваш ответ напомнил мне сразу то определение, что я видел.
(13 Мар '13 21:07)
MathTrbl
@MathTrbl: Какие-то ссылки можно найти по ключевым словам "componentwise convergence hilbert space".
(13 Мар '13 21:12)
falcao
Просто я искал не на английском языке, а потом не смог снова найти. Благодаря вашему примеру я снова вспомнил, что там было написано.
(13 Мар '13 21:16)
MathTrbl
Собственно, название вполне "говорящее", в отличие от сильной и слабой
(13 Мар '13 22:07)
DocentI
|
Если определение слабой сходимости даётся через скалярное произведение, а не через (ограниченные) линейные функционалы, то возникает просто частный случай, когда $%y=e_k$%. Теорема Риса-Фреше тут не нужна.