Сколько различных 4-х значных чисел с не повторяющимся цифрами можно составить из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6}, так чтобы цифры 2 и 4 не были соседями?

задан 13 Мар '13 16:44

изменен 13 Мар '13 18:40

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
3

Всего таких чисел, без учёта последнего условия, имеется $%A_6^4=6\cdot5\cdot4\cdot3=360$%. Подсчитаем теперь количество чисел, где $%2$% и $%4$% стоят рядом. Сначала одним из трёх способов выберем те соседние места, где эти числа будут стоять. Далее двумя способами выберем их порядок следования. После этого у нас есть $%4\cdot3$% способа заполнить пропущенные места. Значит, нужно исключить $%3\cdot2\cdot4\cdot3=72$% числа. Итого получается $%360-72=288$% чисел.

ссылка

отвечен 13 Мар '13 18:02

Я согласа с вашим решением. Сама решила точно так, но ответ 240. Значит в книге ошибка.

(13 Мар '13 18:32) ASailyan

Да, там наверняка какая-то опечатка. Если это какая-то современная книга, то их сейчас издают слишком быстро, поэтому не выверяют как следует.

(13 Мар '13 18:42) falcao
2

А мой ученик предлaгал такое решение: Допустим {24} одна цифра, тогда имеем 5 цифр {24},1,3,5,6 , из этих 5 цифр можно составить трехзначныe числa $$A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$$ способамы. А если взять {42},1,3,5,6, то число способов удвоится, и получится всего $$360-2\cdot60=240$$ чисел.Думаю авторы книги тоже так рассуждали, потому что в книге есть еще одна аналогичная задача с неправильным ответом.Но в рассуждениях явно есть логическая ошибка.

(13 Мар '13 20:43) ASailyan
1

Мне понравилось это объяснение, откуда мог взяться ответ $%240$%. Я сам пытался придумать "псевдорешение" с таким ответом, но не преуспел в этом деле. Я пытался понять, почему могли вычесть $%120$% вместо $%72$%, или проинтепретировать разницу в $%48$%. Сейчас, зная объяснение, я понимаю, что догадаться было выше моих сил, так как здесь из $%288$% вычли удвоенное количество трёхзначных (!) чисел, составленных из цифр $%1,3,5,6$%. Очень поучительный получился пример -- я потом со своими студентами поделюсь.

(13 Мар '13 20:52) falcao

Я тоже сначала получила 240. Ошибка в том, что во второй подсчет входят и числа без 2 и 4, которые вычитать не нужно.

(13 Мар '13 22:54) DocentI

И входят даже трехзначные числа.

(13 Мар '13 23:03) ASailyan

@DocentI: там получается даже интереснее. Дело в том, что четырёхзначных чисел без $%2$% и $%4$% имеется $%4!=24$%, и это не покрывает разницу в $%48$%. Когда $%2$% и $%4$% соединяются вместе, то "числа" рассматриваются уже "трёхзначные", и если не принять во внимание, что новая "склеенная" цифра должна входить, то получаются трёхзначные (уже без кавычек) числа, составленные из цифр $%1,3,5,6$%, причём каждое из них учитывается дважды, потому что у отсутствующих $%2$% и $%4$% учитываются два варианта расположения. Это довольно редкий случай, почему мне он и показался заслуживающим внимания.

(13 Мар '13 23:12) falcao

Ну, собственно, я не сказала, сколькизначные. Но хорошая ошибка - вещь ценная. Мы начали проводить олимпиаду для учителей, там часть заданий как раз на поиск ошибок. Неплохо было бы сделать подборку таких задач и по высшей математике.

(13 Мар '13 23:32) DocentI

@DocentI: целиком и полностью согласен! Поиск ошибок в доказательствах я считаю вещью очень полезной. Идея олимпиады такого типа мне нравится. Помню, Вы приводили хороший пример с заменой $%t=\tan x$%. Надо будет подумать в этом направлении -- вдруг какие-нибудь интересные примеры придут в голову? Можно даже известные вещи привлечь -- типа "парадокса Монти-Холла" или "парадокса двух конвертов".

(13 Мар '13 23:38) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$A_6^4-6\cdot A_4^2.$$

ссылка

отвечен 13 Мар '13 17:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,319

задан
13 Мар '13 16:44

показан
7479 раз

обновлен
13 Мар '13 23:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru