|
Пусть $%\xi, \eta$% - независимые случайные величины, распределенные по геометрическому закону с параметрами $%p_1 = \frac{3}{4}, p_2 = \frac{1}{5} $%. Найти вероятность $%P\{\xi+1 < \eta < 2\xi + 2\}$%. Найти $%Cov(\eta-\xi-1, 2\xi+2-\eta)$% задан 5 Дек '17 23:50 
PaCman |
|
Для геометрического распределения я бы взял за основу такое, где значения принимаются от нуля. Но в этой задаче, судя по всему, больше подходит другой стандарт, когда значения принимаются от единицы. Пусть $%\xi$% приняла значение $%k\ge1$%. Это происходит с вероятностью $%p_1(1-p_1)^{k-1}=\frac3{4^k}$%. Тогда $%k+2\le\eta\le2k+1$%. Вероятность равна $%p_2(q_2^{k+2}+\cdots+q_2^{2k+1})$%, где $%q_2=1-p_2=\frac45$%. Суммируя геометрическую прогрессию, имеем $%q_2^{k+2}(1-q_2^k)=(\frac45)^{k+2}-(\frac45)^{2k+2}$%. Теперь домножаем на $%\frac3{4^k}$%, в соответствии с формулой полной вероятности, и суммируем по $%k\ge1$%. Член суммы с номером $%k$% равен $%3\cdot\frac{24}{25}((\frac15)^k-(\frac4{25})^k)$%. Суммирование, с учётом формулы для бесконечной геометрической прогрессии, даёт $%\frac{72}{25}(\frac14-\frac4{21})=\frac6{35}$%. Ковариация раскрывается по линейности. Для независимых с.в. (включая случай констант) она равна нулю, а $%{\rm cov}(\xi,\xi)$% и $%{\rm cov}(\eta,\eta)$% равны дисперсиям $%\xi$% и $%\eta$% соответственно, а для геометрического распределения значение дисперсии известно. отвечен 6 Дек '17 1:30 
falcao falcao, здравствуйте, к сожалению не могу оставлять комментарии, поэтому задаю вопрос в форме ответа. Решаю аналогичную задачу и в вашем решении не могу понять почему $$k+2<\eta<2k+1$$, а не $$k+2<\eta<2k+3$$ если мы начинаем с 1?
(1 Дек '19 1:59)
jokop
@jokop: это место не связано с возможными значениями от 0 или от 1. В условии даны строгие неравенства $%\eta > \xi+1$% и $%\eta < 2\xi+2$%. Значения тут целые, и в виде нестрогих неравенств получится $%\eta\ge\xi+2$% и $%\eta\le2\xi+1$%, что равносильно предыдущему.
(1 Дек '19 2:30)
falcao
Спасибо! Еще один вопрос связанный уже вот с этой задачей. Правильно, что зная $$P(ξ+1<η<2ξ+2)$$, $$P(ξ+1<η)$$ и $$P(η<2ξ+2)$$ можно найти условную вероятность просто подставив в формулу Баейса?
(1 Дек '19 2:49)
jokop
|