$$ \frac{1}{\sqrt{x+\frac{7}{2}}}=\frac{1}{x^2}-\frac{7}{2} $$ Не поддалось что-то

задан 6 Дек '17 1:59

изменен 6 Дек '17 6:35

all_exist's gravatar image


40.2k211

10|600 символов нужно символов осталось
4

Способ с возведением в квадрат приводит к уравнению 5-й степени, один корень которого рационален. Далее получается уравнение 4-й степени, которое раскладывается на множители при помощи метода Феррари, но там трудно проверять корни. Поэтому решать будет по-другому.

Положим $%y=\frac1{x^2}-\frac72$%. Если $%x$% -- решение уравнения, то $%y^2=\frac1{x+\frac72}$%, откуда имеем симметричное условие $%x=\frac1{y^2}-\frac72$%.

Вычитая из второго условия первое, имеем $%x-y=\frac1{y^2}-\frac1{x^2}=\frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2}$%. Если $%x=y$%, то мы приходим к уравнению $%x=\frac1{x^2}-\frac72$%, то есть $%x^3+\frac72x^2-1=(x-\frac12)(x^2+4x+2)=0$%. Корень $%x=\frac12$% подходит при проверке. Корни $%x=-2\pm\sqrt2$% не подходят, так как из основного уравнения следует, что $%\frac1{x^2} > \frac72$%, то есть $%|x| < \sqrt{\frac27}$%. Аналитическая проверка того, что $%2-\sqrt2 > \sqrt{\frac27}$%, достаточно проста.

Теперь пусть $%x\ne y$%. Тогда $%x^2y^2=x+y$%. Сложим два симметричных уравнения системы: $%\frac1{x^2}+\frac1{y^2}=x+y+7$%, откуда с учётом предыдущего, $%\frac{x^2+y^2}{x+y}=x+y+7$%, то есть $%2xy+7(x+y)=0$%. Следовательно, $%xy(7xy+2)=0$%, то есть $%xy=-\frac27$%, $%x+y=\frac4{49}$%. Составляем квадратное уравнение по теореме Виета, находя его корни $%\frac{2\pm\sqrt{690}}{49}$%.

Теперь проверяем корни. Напрямую это делать плохо, поэтому для начала заметим, что обе найденных пары $%(x,y)$% удовлетворяют симметричной системе. Действительно, у нас было два уравнения, которые можно записать в виде $%u=0$% и $%v=0$%. Мы их складывали и вычитали, и нашли такие $%x$%, $%y$%, которые удовлетворяют условиям $%u-v=0$%, $%u+v=0$%. Значит, симметричной системе они также удовлетворяют.

Теперь вспомним, что уравнение $%\frac1{\sqrt{2x+7}}=y$% мы возводили в квадрат, поэтому $%y > 0$%. При этом ограничении можно вернуться назад, извлекая корни, и $%x$% станет решением уравнения из условия. Таким образом, $%y=\frac{2+\sqrt{690}}{49}$%, и $%x=\frac{2-\sqrt{690}}{49}$% -- второй корень.

ссылка

отвечен 6 Дек '17 17:37

@falcao,спасибо, мне только что тоже подсказали

(6 Дек '17 19:09) epimkin
2

Классное решение. Кстати обычное возведение в квадрат давало такое разложение: $% a^3x^4+(-2x^2+x^5)a^2+(1-2x^3)a-x^4+x = (ax^2+x^3-1)(a^2x^2-a-x)=0$%

Чтобы его угадать не нужен метод Ферарри, ведь это кубическое уравнение с рациональным корнем. Просто перебираем делители для $% x^4 %$% и для $% -x^4+x %$%

(6 Дек '17 20:06) abc

@abc: да, если 7/2 заменить на параметр a, то такой способ работает. Правда, метод Феррари я не отношу к чему-то громоздкому или неприятному -- оно очень хорошо работает практически. В отличие от формулы Кардано, которая имеет скорее теоретическое значение.

(6 Дек '17 21:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

alt text

Тезисы

ссылка

отвечен 6 Дек '17 19:10

@epimkin: да, так тоже можно. С проверкой нет проблем в том смысле, что можно опираться на равносильность. Дополнительное условие только t > 0. А потом к уравнениям только добавляются следствия, и там нет трудностей ни арифметических, ни логических.

(6 Дек '17 21:22) falcao

@falcao , я скачал книжку откуда оно, там много подобных. Сейчас посмотрел повнимательней, в основном МГУшных, значит известных

(6 Дек '17 21:30) epimkin

@epimkin: это хорошая задача, и вдобавок с "ложным следом" (как в шахматной композиции). Одного лишь сравнения функции с обратной (а я именно так начинал вчера решать, уже отходя ко сну) здесь мало. Хотя сам приём часто встречается при решении задач, и не так давно у Вас что-то похожее было.

(6 Дек '17 21:46) falcao

@epimkin А что за книжка? @falcao А можно ли приспособить метод взаимнообратных функций? Типа f(x)=g(x) при x<0 и f,g хоть и не взаимнообратные, но очевидно очень близки к этому. Это помогает, или наоборот такая мелочь окончательно все портит? Может какую-то замену переменной сделать, чтобы все срослось...

(7 Дек '17 1:21) abc
(7 Дек '17 1:28) epimkin

@epimkin Ждем от вас интересных задач оттуда. Самому как-то не хочется страдать над уравнениями :)

(7 Дек '17 1:47) abc

Да нет, эту задачу попросили решить на другом форуме( тот человек часто задаёт их с этой книжки , некоторые я решаю, некоторые нет, вот и задаю их сюда. У самого знаний не хватает). Задаст ещё, не решу , выложу сюда

(7 Дек '17 2:09) epimkin
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

Функции слева и справа от знака равенства - взаимно обратные, поэтому уравнение сводится к уравнению $%\frac1{x^2}+\frac72=x, 2x^3+7x^2-2=0, x_1=1/2,$% далее т. Безу, квадратное уравнение и отсеивание возможных посторонних корней из-за неравносильности перехода.

ссылка

отвечен 6 Дек '17 10:09

1

Тут теряется корень: $% x = \frac{2}{49}-\frac{\sqrt{690}}{49} $%. Сходу не соображу почему так происходит. А ... вроде понял, левая часть взаимнообратна с функцией $%\frac{1}{x^2}- \frac{7}{2} и x>0 $%

(6 Дек '17 11:05) abc

@Амфибрахий: тут нет "чистой" взаимной обратности из-за появления модуля после извлечения корня. Для положительных х всё понятно, но есть ещё один отрицательный корень.

(6 Дек '17 12:27) falcao

но все равно решение хорошее, можно модифицировать начальное уравнение чтобы оно работало.

(6 Дек '17 13:08) abc

До взаимнообратных я тоже додумался и решал также, а вот тот страшный корень не мог найти, спасибо

(6 Дек '17 14:06) epimkin

Нет, не понял, а откуда взялось (1/х^2)+(7/2)?

(6 Дек '17 14:10) epimkin

@epimkin: я думаю, это опечатка. Там разность вместо суммы.

(6 Дек '17 14:20) falcao

@falcao, а тот страшный корень, он есть? На графике есть

(6 Дек '17 14:27) epimkin

@epimkin: да, конечно.

(6 Дек '17 16:56) falcao

Если тупо возводить в квадрат, то тоже появляется, но как его там найти-непонятно

(6 Дек '17 16:57) epimkin
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×512
×3

задан
6 Дек '17 1:59

показан
463 раза

обновлен
7 Дек '17 2:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru