Здравствуйте.

В школе я недавно писал пробный ЕГЭ по математике, там в части С вопрос 6 выглядел так: Доказать, что:

$$\frac{2010^{2010}-1}{2009}$$ делиться без остатка.

Кто может доступно объяснить как это доказывается? (Это не домашнее задание, мне самому хочется это понять. Учитель уклонился от ответа и сказал что объяснит "потом")

задан 3 Фев '12 21:50

изменен 4 Фев '12 14:57

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Первое, что пришло на ум - $%((2009+1)^{2010}-1)/2009$%, далее (с помощью бинома Ньютона см. Википедию, к примеру) делаем вывод, что числитель будет представлять из себя сумму вида $%C_1(2009^{2010})+C_2(2009^{2009})+...+1^{2010}-1$%, где $%C_i$% - биномиальные коэффициенты, что в свою очередь означает,что последние два слагаемых сокращаются, а из оставшейся суммы можно вынести за скобки 2009 и успешно сократить его на 2009 из знаменателя, получив таким образом просто сумму, которая и будет результатом деления.

ссылка

отвечен 3 Фев '12 23:36

изменен 4 Фев '12 11:35

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Спасибо, надо будет посмотреть бином Ньютона.

(4 Фев '12 13:43) SomeTime

Бином Ньютона здесь слишком мощное средство, из пушки по воробьям ,есть более легкие формулы

(4 Фев '12 23:55) Balon
10|600 символов нужно символов осталось
6

Есть формула $%a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$% (Вторая скобка-биноминальный многочлен с единичными коэффициентами). Она доказывается непосредственно раскрытием скобок. Подставляя $%a=2010$% и $%b=1$% и $%n=2010$%, получаем $%2010^{2010}-1^{2010}=2009 \ast$% целое число и дробь сокращается на $%2009$%, а степень, как правильно отметил BuilderC не важна.

ссылка

отвечен 4 Фев '12 7:27

изменен 4 Фев '12 11:38

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Можете подсказать откуда данная формула?

(4 Фев '12 13:49) SomeTime

Я не знаю, кто ее придумал, но я ее в 8-ом классе проходил.

(4 Фев '12 20:45) dmg3
10|600 символов нужно символов осталось
5

Позвольте, мне кажется, что у меня попроще доказательство, чем у уважаемого @Механик. Перепишем пример следующим образом: $$\frac{(b+1)^n-1}{b}$$ В числителе при возведении в степень n получится чертова куча слагаемых, содержащих b в виде сомножителя, и 1. Когда мы эту единицу вычтем, то разность никуда не денется и разделится на b нацело. Таким образом, от степени ничего не зависит, и степень 2010 необходима составителю для того, чтобы запутать решение.

ссылка

отвечен 4 Фев '12 1:09

изменен 6 Фев '12 10:54

Вам тоже спасибо, все подробно растолковали.

(4 Фев '12 13:51) SomeTime
10|600 символов нужно символов осталось
-4

итак по порядку. формула конечной суммы n членов геометрической прогрессии равна Sn=(A^n-1)/(A-1). в данном примере A=2010, n=2010. подставляем, получаем Sn=(2010^2010-1)/(2010-1)=(2010^2010-1)/2009 - выражение в вопросе. ток как это есть конечная сумма целых чисел, то и результат число целое. ничего делить не надо. доказательство усматривается из общего определения геометрической прогрессии.

ссылка

отвечен 6 Фев '12 0:06

изменен 7 Фев '12 21:58

2

Ты со словами то поаккуратней, лучше обоснуй внятно свое мнение по поводу предыдущих ответов. Что в них не так?

(6 Фев '12 0:28) Механик
2

Вы смеете усомниться в правдивости слов гения? :D

(6 Фев '12 7:30) Occama
2

@mich72, -1 за хамство.

(6 Фев '12 10:57) BuilderC

ответ на коментарий механика: если бы ты сам провёлпредложенное тобой доказательстводо конца, то самбы убедился что ответ - херня.

(7 Фев '12 22:02) mich72

ответ на коментарий occama: ты бы сам хоть что нибудь предложил. если бы был в состоянии разобраться и в вопросе и в ответе.

(7 Фев '12 22:04) mich72
1

@mich72, если ты не понимаешь рассуждений других до конца, это еще не повод называть их херней. Мое рассуждение произведено до конца, но я не счел нужным писать все до последней запятой, ибо кто понимает - поймет о чем речь и по прочитанному в моем ответе.

(8 Фев '12 19:16) Механик
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×173
×133

задан
3 Фев '12 21:50

показан
2234 раза

обновлен
8 Фев '12 19:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru