|
Здравствуйте. В школе я недавно писал пробный ЕГЭ по математике, там в части С вопрос 6 выглядел так: Доказать, что: $$\frac{2010^{2010}-1}{2009}$$ делиться без остатка. Кто может доступно объяснить как это доказывается? (Это не домашнее задание, мне самому хочется это понять. Учитель уклонился от ответа и сказал что объяснит "потом") задан 3 Фев '12 21:50 
SomeTime |
|
Первое, что пришло на ум - $%((2009+1)^{2010}-1)/2009$%, далее (с помощью бинома Ньютона см. Википедию, к примеру) делаем вывод, что числитель будет представлять из себя сумму вида $%C_1(2009^{2010})+C_2(2009^{2009})+...+1^{2010}-1$%, где $%C_i$% - биномиальные коэффициенты, что в свою очередь означает,что последние два слагаемых сокращаются, а из оставшейся суммы можно вынести за скобки 2009 и успешно сократить его на 2009 из знаменателя, получив таким образом просто сумму, которая и будет результатом деления. отвечен 3 Фев '12 23:36 
Механик Спасибо, надо будет посмотреть бином Ньютона.
(4 Фев '12 13:43)
SomeTime
Бином Ньютона здесь слишком мощное средство, из пушки по воробьям ,есть более легкие формулы
(4 Фев '12 23:55)
Balon
|
|
Есть формула $%a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$% (Вторая скобка-биноминальный многочлен с единичными коэффициентами). Она доказывается непосредственно раскрытием скобок. Подставляя $%a=2010$% и $%b=1$% и $%n=2010$%, получаем $%2010^{2010}-1^{2010}=2009 \ast$% целое число и дробь сокращается на $%2009$%, а степень, как правильно отметил BuilderC не важна. отвечен 4 Фев '12 7:27 
dmg3 Можете подсказать откуда данная формула?
(4 Фев '12 13:49)
SomeTime
Я не знаю, кто ее придумал, но я ее в 8-ом классе проходил.
(4 Фев '12 20:45)
dmg3
|
|
Позвольте, мне кажется, что у меня попроще доказательство, чем у уважаемого @Механик.
Перепишем пример следующим образом: $$\frac{(b+1)^n-1}{b}$$
В числителе при возведении в степень n получится чертова куча слагаемых, содержащих b в виде сомножителя, и 1. Когда мы эту единицу вычтем, то разность никуда не денется и разделится на b нацело. Таким образом, от степени ничего не зависит, и степень 2010 необходима составителю для того, чтобы запутать решение. отвечен 4 Фев '12 1:09 
BuilderC Вам тоже спасибо, все подробно растолковали.
(4 Фев '12 13:51)
SomeTime
|
|
итак по порядку. формула конечной суммы n членов геометрической прогрессии равна Sn=(A^n-1)/(A-1). в данном примере A=2010, n=2010. подставляем, получаем Sn=(2010^2010-1)/(2010-1)=(2010^2010-1)/2009 - выражение в вопросе. ток как это есть конечная сумма целых чисел, то и результат число целое. ничего делить не надо. доказательство усматривается из общего определения геометрической прогрессии. отвечен 6 Фев '12 0:06 
mich72 2
Ты со словами то поаккуратней, лучше обоснуй внятно свое мнение по поводу предыдущих ответов. Что в них не так?
(6 Фев '12 0:28)
Механик
ответ на коментарий механика: если бы ты сам провёлпредложенное тобой доказательстводо конца, то самбы убедился что ответ - херня.
(7 Фев '12 22:02)
mich72
ответ на коментарий occama: ты бы сам хоть что нибудь предложил. если бы был в состоянии разобраться и в вопросе и в ответе.
(7 Фев '12 22:04)
mich72
показано 5 из 6
показать еще 1
|