математика - С5 ЕГЭ по математике. Линейная функция под модулем.

Пока по первой из задач. Уравнение: $%|3x+6|+|3x-8|=12-ax$%; требуется узнать, при каких значениях параметра $%a$% оно имеет не более одного решения относительно $%x$%.

Разобьём числовую прямую на три непересекающихся промежутка:

1) $%x < -2$%; 2) $%-2\le x\le8/3$%; 3) $%8/3 < x$%. На каждом из них найдём те значения параметра, для которых уравнение имеет решение относительно $%x$% на данном промужутке. В конце мы удалим из ответа те значения $%a$%, для которых имеется более одного решения на числовой прямой.

1) $%x < -2$%. После раскрытия модулей, уравнение принимает вид $%-6x+2=12-ax$%, то есть $%(a-6)x=10$%. Если решение на данном промежутке есть, то $%x$% отрицательно, и потому $%a-6$% отрицательно, то есть $%a<6$%. При этом $%x=10/(a-6)<-2$%. Домножая на отрицательное число со сменой знака, получаем $%10>-2(a-6)$%, откуда $%a > 1$%. В итоге находим, что решение на первом промежутке имеется тогда и только тогда, когда $%a\in M_1=(1,6)$%.

2) $%-2\le x\le8/3$%. Здесь после раскрытия модулей имеем $%(3x+6)-(3x-8)=14=12-ax$%, то есть $%ax=-2$%. Ясно, что $%a\ne0$%, $%x=-2/a$%; разберём отдельно случай положительных и отрицательных $%a$%.

Если $%a > 0$%, то $%x$% отрицательно, и нас интересует случай $%x\in[-2,0)$%. Это значит, что $%-2\le-2/a < 0$%, то есть $%a\ge1$%.

Если $%a < 0$%, то $%x$% положительно, и нас интересует случай $%x\in(0,8/3]$%. Здесь $%0 < -2/a\le8/3$%, то есть $%a\le-3/4$%.

Итак, решение на втором промежутке имеется тогда и только тогда, когда $%a\in M_2=(-\infty,-3/4]\cup[1,+\infty)$%.

3) $%8/3 < x$%. Здесь раскрытие модуля приводит к $%6x-2=12-ax$%, то есть $%(a+6)x=14$%. Поскольку $%x$% положительно, имеем $%a+6 > 0$% и $%x=14/(a+6) > 8/3$%, то есть $%a < -3/4$%. Решение на третьем промежутке имеется тогда и только тогда, когда $%a\in M_3=(-6,-3/4)$%.

Легко видеть, что множества $%M_1$% и $%M_3$% не пересекаются. Поэтому достаточно найти пересечения $%M_1\cap M_2=(1,6)$% и $%M_2\cap M_3=(-6,-3/4)$%, удаляя их из ответа. Это те $%a$%, для которых уравнение имеет более одного решения (на самом деле, ровно два).

Окончательно имеем в ответе: $%a\in(-\infty,-6]\cup[-3/4,1]\cup[6,+\infty)$%.

Добавление. Привожу аналитическое решение второй задачи. Условие можно переписать в виде совокупности двух уравнений: $%a=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$% или $%a=|x+2|-1$%. Каждое из уравнений может иметь максимум два решения. Нам нужно три, поэтому потребуем, чтобы решение было в каждом из случаев. Это означает, что $%a+3\ge0$%, а также $%a+1\ge0$%. Значит, $%a\ge-1$%.

При этом условии первое уравнение имеет решения $%x=2\pm\sqrt{a+3}$%, а второе $%x=-2\pm(a+1)$%. Если $%a=-1$%, то получается ровно три решения: $%x=2\pm\sqrt{2}$%, $%x=-2$%. То есть это значение $%a$% нам подходит. Пусть теперь $%a > -1$%. Тогда каждое из уравнений имеет ровно по два решения. Чтобы вместе было три, должны быть совпадения. Их мы и проанализируем.

Второе уравнение имеет корни $%x=a-1$% и $%x=-a-3$%. Рассмотрим совпадение первого из решений с каким-то решением первого уравнения. Это значит, что $%a-1=2\pm\sqrt{a+3}$%, то есть $%a-3=\pm\sqrt{a+3}$%. Возводя обе части в квадрат, приходим к равносильному условию $%(a-3)^2=a+3$%, то есть к квадратному уравнению $%a^2-7a+6=0$%. Оно имеет корни $%a=1$% и $%a=6$%. Оба значения подходят: при $%a=1$% имеем $%x\in\{0;\pm4\}$%; при $%a=6$% получаем $%x\in\{-9;-1;5\}$%.

Теперь предположим, что решение $%x=-a-3$% совпало с одним из значений $%2\pm\sqrt{a+3}$%. Здесь получается, что $%-a-5=\pm\sqrt{a+3}$%, то есть $%(a+5)^2=a+3$%. Но у получившегося квадратного уравнения $%a^2+9a+22=0$% дискриминант отрицателен, и решений оно не имеет.

Таким образом, окончательный ответ имеет вид $%a\in\{-1;1;6\}$%.