Подскажите альтернативный способ решения таких задач?

Задача 1.

При каких значениях параметра а уравнение alt text имеет не более одного корня?

alt text

alt text

Задача 2.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение alt text имеет ровно три различных корня.

Задача 3.

При каких значениях а уравнение alt text имеет четыре различных решения?

задан 14 Мар '13 11:25

изменен 14 Мар '13 15:06

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пока по первой из задач. Уравнение: $%|3x+6|+|3x-8|=12-ax$%; требуется узнать, при каких значениях параметра $%a$% оно имеет не более одного решения относительно $%x$%.

Разобьём числовую прямую на три непересекающихся промежутка:

1) $%x < -2$%; 2) $%-2\le x\le8/3$%; 3) $%8/3 < x$%. На каждом из них найдём те значения параметра, для которых уравнение имеет решение относительно $%x$% на данном промужутке. В конце мы удалим из ответа те значения $%a$%, для которых имеется более одного решения на числовой прямой.

1) $%x < -2$%. После раскрытия модулей, уравнение принимает вид $%-6x+2=12-ax$%, то есть $%(a-6)x=10$%. Если решение на данном промежутке есть, то $%x$% отрицательно, и потому $%a-6$% отрицательно, то есть $%a<6$%. При этом $%x=10/(a-6)<-2$%. Домножая на отрицательное число со сменой знака, получаем $%10>-2(a-6)$%, откуда $%a > 1$%. В итоге находим, что решение на первом промежутке имеется тогда и только тогда, когда $%a\in M_1=(1,6)$%.

2) $%-2\le x\le8/3$%. Здесь после раскрытия модулей имеем $%(3x+6)-(3x-8)=14=12-ax$%, то есть $%ax=-2$%. Ясно, что $%a\ne0$%, $%x=-2/a$%; разберём отдельно случай положительных и отрицательных $%a$%.

Если $%a > 0$%, то $%x$% отрицательно, и нас интересует случай $%x\in[-2,0)$%. Это значит, что $%-2\le-2/a < 0$%, то есть $%a\ge1$%.

Если $%a < 0$%, то $%x$% положительно, и нас интересует случай $%x\in(0,8/3]$%. Здесь $%0 < -2/a\le8/3$%, то есть $%a\le-3/4$%.

Итак, решение на втором промежутке имеется тогда и только тогда, когда $%a\in M_2=(-\infty,-3/4]\cup[1,+\infty)$%.

3) $%8/3 < x$%. Здесь раскрытие модуля приводит к $%6x-2=12-ax$%, то есть $%(a+6)x=14$%. Поскольку $%x$% положительно, имеем $%a+6 > 0$% и $%x=14/(a+6) > 8/3$%, то есть $%a < -3/4$%. Решение на третьем промежутке имеется тогда и только тогда, когда $%a\in M_3=(-6,-3/4)$%.

Легко видеть, что множества $%M_1$% и $%M_3$% не пересекаются. Поэтому достаточно найти пересечения $%M_1\cap M_2=(1,6)$% и $%M_2\cap M_3=(-6,-3/4)$%, удаляя их из ответа. Это те $%a$%, для которых уравнение имеет более одного решения (на самом деле, ровно два).

Окончательно имеем в ответе: $%a\in(-\infty,-6]\cup[-3/4,1]\cup[6,+\infty)$%.

Добавление. Привожу аналитическое решение второй задачи. Условие можно переписать в виде совокупности двух уравнений: $%a=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$% или $%a=|x+2|-1$%. Каждое из уравнений может иметь максимум два решения. Нам нужно три, поэтому потребуем, чтобы решение было в каждом из случаев. Это означает, что $%a+3\ge0$%, а также $%a+1\ge0$%. Значит, $%a\ge-1$%.

При этом условии первое уравнение имеет решения $%x=2\pm\sqrt{a+3}$%, а второе $%x=-2\pm(a+1)$%. Если $%a=-1$%, то получается ровно три решения: $%x=2\pm\sqrt{2}$%, $%x=-2$%. То есть это значение $%a$% нам подходит. Пусть теперь $%a > -1$%. Тогда каждое из уравнений имеет ровно по два решения. Чтобы вместе было три, должны быть совпадения. Их мы и проанализируем.

Второе уравнение имеет корни $%x=a-1$% и $%x=-a-3$%. Рассмотрим совпадение первого из решений с каким-то решением первого уравнения. Это значит, что $%a-1=2\pm\sqrt{a+3}$%, то есть $%a-3=\pm\sqrt{a+3}$%. Возводя обе части в квадрат, приходим к равносильному условию $%(a-3)^2=a+3$%, то есть к квадратному уравнению $%a^2-7a+6=0$%. Оно имеет корни $%a=1$% и $%a=6$%. Оба значения подходят: при $%a=1$% имеем $%x\in\{0;\pm4\}$%; при $%a=6$% получаем $%x\in\{-9;-1;5\}$%.

Теперь предположим, что решение $%x=-a-3$% совпало с одним из значений $%2\pm\sqrt{a+3}$%. Здесь получается, что $%-a-5=\pm\sqrt{a+3}$%, то есть $%(a+5)^2=a+3$%. Но у получившегося квадратного уравнения $%a^2+9a+22=0$% дискриминант отрицателен, и решений оно не имеет.

Таким образом, окончательный ответ имеет вид $%a\in\{-1;1;6\}$%.

ссылка

отвечен 14 Мар '13 14:40

изменен 14 Мар '13 19:01

Прекрасно, спасибо.

(20 Мар '13 11:36) XAegis

falcao, как при решении первого задания во втором пункте определили, что не стоит решать следующим образом, а диаметрально наоборот: -2<=x<=8 , x=-2/a, т.е. подставляем выраженный через a и x и получаем -3/4<=a<=1. Вы же получили (−∞,−3/4]∪[1,+∞).

(20 Мар '13 13:12) XAegis

@XAegis: Там надо знаки неравенств учитывать. Если $%x$% от $%-2$% до $%8/3$%, и $%a=-2/x$%, то для крайних точек имеем значения $%1$% и $%-3/4$%, но это совершенно не значит, что если $%x$% находится между крайними точками, то $%a=f(x)=-2/x$% будет находиться между $%f(-2)$% и $%f(8/3)$%. Такое правило нельзя применять: оно ниоткуда не следует даже для непрерывных функций, а у нас функция имеет разрыв в нуле. Здесь можно ещё так это себе представить: поместим $%a$% в точку $%-2$% и слегка увеличим. Тогда $%f(-1,9)=2/1,9 > 1$%, то есть оно уходит не в сторону $%f(8/3)=-3/4$%, а наоборот.

(20 Мар '13 13:26) falcao

Понятно. .

(20 Мар '13 13:54) XAegis
10|600 символов нужно символов осталось
2

Графики функций, которые использовались при решении этих заданий - элементарные. Ученик с хорошей математической подготовкой построит их без труда. Применяя несложные дополнительные вычисления, можно оптимально получить требуемое решение.

1)$%|3x+6|+|3x-8|=12-ax \Leftrightarrow ax=12-|3x+6|-|3x-8|$% alt text

Ответ. $%a\in (-\infty;-6]\cup [-\frac{3}{4};1]\cup [6;+\infty ).$%

2) $$(a+1+4x-x^2-2)(a+1-|x+2|)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}b=a+1,\\ \left[\begin{cases}y=b,\\ y=x^2-4x+2,\end{cases} \\ \begin{cases}y=b,\\ y=|x+2|.\end{cases}\right]\end{cases}$$

alt text

Ответ. $%a=-1;1;6$%

3) Ответ. $%0< a< \frac{1}{8}.$%

ссылка

отвечен 14 Мар '13 14:50

изменен 14 Мар '13 18:28

@Anatoliy: во второй задаче было бы удобно все графики опустить на единицу вниз. Тогда ясно, что имеется ровно три горизонтальные прямые, пересекающие объединение графиков ровно в трёх точках, и им соответствуют $%a=-1;1;6$%. Сами уравнения проще записать в виде, когда значение функции равно $%a$%.

(14 Мар '13 18:05) falcao

Да, там еще одно значение. Спасибо.

(14 Мар '13 18:27) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
2

1)График левой части $%y=|3x+6|+|3x-8|=\begin{cases} -6x+2,если x<-2\\ 14,если -2\le x<8/3\\ 6x-2,если x>8/3 \end{cases}$%

В рисунке это ломаная $%ACDB.$% График правой части $%y=12-ax,$% это прямая линия , которая проходит через точки $%E(0;12),$% в зависимости от параметра $%a$%, наклон линии меняется(в рисунке прямая имеет зеленый цвет.)И так чтобы линия $%y=12-ax,$%пересекла $%ACDB$% в одной точке или не пересекла, она должна находится в области , которая закрашена синим цветом (включая границы). При $%a=1$% прямая совпадает с $%CE $%(одна точка пересечения), при $%a=-0.75$% прямая совпадает с $%ED$%(одна точка пересечения),при $%a=6$% прямая совпадает с $%EF||AC,$% при $%a=-6$% прямая совпадает с $%EG||BD,$%при $%a>6,или a<-6$% прямая проходит через область $%FEG$%(одна точка пересечения). При $%-0.75<a<1,$%прямая проходит через область $%CEH$% и не пересекает $%ACDB.$%

Ответ. $%a\in(-\infty;-6]\cup[-0.75;1]\cup[6;\infty)$%

alt text

2)При каких значениях а уравнение $%(a+4x-x^2-1)(a+1-|x+2|)=0$% имеет ровно три различных решения?

$%(a+4x-x^2-1)(a+1-|x+2|)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x^2-4x+1-a=0\\ |x+2|=a+1 \end{aligned}\right.$% Возможно 3 случаи

1)первый имеет 1 решение, второй-2

2)первый имеет 2 решения, второй-1

3)первыи имеет 2 решения, второй -2, но одно решение обшее.

Соответственно надо решить системы (потом проверить) $%1) \begin{cases} D=а+3>0\\ a+1=0 \end{cases} 2)\begin{cases} D=3+а=0\\ a+1>0 \end{cases} 3)\begin{cases} D=3+a>0\\ a+1>0\\ \left[\begin{aligned}(a-1)^2-4(a-1)+1-a=0\\ (-a-3)^2-4(-a-3)+1-a=0 \end{aligned}\right. \end{cases}$%

Решение 1-ой системы $%a=-1$%, 2-я система не имеет решений, а решеня 3-й системы $%a=1,a=6$%

3)При каких значениях а уравнение $%2a(x+1)^2-|x+1|+1= 0$% имеет четыре различных решения? При $%a=0,$% уравнение имеет $%2$% решения.Пуст $%а\ne0$%. Уравнение будет иметь 4 решения, если квадратичное уравнение $%2at^2-t+1=0 $% имеет 2 положительных решений. Учитивая теорему Виета, потребуем $%\begin{cases} а>0\\ D>0 \end{cases} \Leftrightarrow 0<a<\frac{1}8 $%

ссылка

отвечен 14 Мар '13 17:43

изменен 15 Мар '13 12:53

Этого условия не достаточно. Нужно добавить $%-\frac{b}{2a}>0, f(0)>0 (f(x)=ax^2+bx+c).$%

В данном задании они выполняются.

(15 Мар '13 11:54) Anatoliy

Условия $%1)D>0 2)t_1\cdot t_2>0, 3) t_1+t_2>0 $%

достаточны чтобы уравнение $%2at^2-t+1=0$%
имело 2 положительных решений, а исходное уравнение- 4 разных решения.Так-как $%t_1\cdot t_2=t_1+t_2=1/2a$%,

то при $%a>0,D>0 $%

выполняются эти 3 условия. Просто вы предпочитаете графическую интерпретацию,а я решила аналитическим методом.

Кстати из $%t_1>0,t_2>0 \Rightarrow -b/2a>0,f(0)>0$%

(15 Мар '13 12:19) ASailyan
1

@ASailyan: Я видел вчера Ваше рассуждение со ссылкой на теорему Виета, и мне оно показалось совершенно достаточным. Раз корни положительны, то их произведение положительно, то есть $%a > 0$%. Этого достаточно, так как корни после этого имеют один знак, а их сумма для данного уравнения положительна. Поэтому вместе с условием на дискриминант всё получается как надо. Кстати, я сам рассуждал чуть по-другому: брал меньший из корней, и рассматривал условие его положительности.

(15 Мар '13 12:57) falcao

$%x^2-3x-4=0?$%

(15 Мар '13 13:46) Anatoliy

Эта задача стандартная - свойства квадратного трехчлена.

(15 Мар '13 13:51) Anatoliy

Что то не договариваете.В чем проблема?

(15 Мар '13 14:30) ASailyan

$%x^2-5x+6=0?$%

(15 Мар '13 14:37) ASailyan

@ASaliyan: я с Вашими соображениями согласен. С учётом теоремы Виета всё получается хорошо и быстро. Но, вообще говоря, когда человек что-то решает на контрольной, то ему по возможности имеет смысл проверять свои выводы разными способами, чтобы всё как бы сошлось. Здесь полезны и графики, и всё остальное -- просто из соображений надёжности.

(15 Мар '13 17:59) falcao

ASailyan, спасибо.

(20 Мар '13 12:02) XAegis
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

Нет, в третьем ответ от нуля до 1/8 (все невключительно).

Замена (х+1) по модулю =t
Уравнение 2at^2-t+1=0 должно иметь 2 положительных корня
Условия для этого система:
Д>0
f(0)/2a>0
x0=1/4a>0
Решение системы 0<a<1/8

Во втором.Нужно построить графике в системе координат aoX. Ответ будет а=-1,1,6 - три значения

http://s019.radikal.ru/i619/1303/ea/5efc0ae44943.jpg

В первом можно построить два графика в координатах ХОУ - левой части и правой части. Правая часть - это семейство прямых, проходящих через точку с координатами (0,12) под разными углами и там смотреть. Но так как решено здесь, по-моему, проще

ссылка

отвечен 14 Мар '13 16:28

изменен 15 Мар '13 17:47

Angry%20Bird's gravatar image


9125

1

Возможно. Спешил. Проверю и исправлю. Спасибо.

(14 Мар '13 16:46) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,403
×284

задан
14 Мар '13 11:25

показан
5026 раз

обновлен
20 Мар '13 13:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru