Пусть $%K_1, K_2$% - компакты в метрическом пространстве $%X$%. Верно ли такое док-во компактности $%K=K_1\cap K_2$%?

Пусть $%\{U_\alpha\}$% - открытое покрытие $%K$%. Т.к. $%K_1,K_2 $% - компакты, $%K_1,K_2, K$% замкнуты в $%X$%. Тогда $%\tilde K= K_1\setminus K$% открыто в $%X$%. Множество $%\{U_\alpha\}\cup \tilde K$% есть открытое покрытие $%K_1$%. Т.к. $%K_1$% компактно, суествует конечное число индексов $%\alpha$% таких что $%\{U_\alpha\}\cup \tilde K$% покрывает $%K_1$%. Тогда упомянутое конечное множество $%\{U_\alpha\}$% покрывает $%K$%

задан 10 Дек '17 1:47

@wart: см. здесь. В доказательстве существенна хаусдорфовость пространства. Здесь она есть, так как пространство метрическое. И здесь можно даже по критерию рассуждать.

Когда Вы берёте разность множеств, то надо говорить об открытости не в X (что неверно), а в K1. Тогда всё проходит.

(10 Дек '17 2:13) falcao

А что если к исходному покрытию добавить X\K_2? Тогда получится открытое покрытие К_1, из него выделяется подпокрытие, и оно дает конечное покрытие пересечения?

(10 Дек '17 2:22) wart

@wart: можно, но это будет уже лишнее. У нас есть покрытие K1 n K2, которое мы взяли. К нему достаточно добавить K1 \ K2, что открыто в K1. И дальше опираться на компактность K1. "Симметризовать" доказательство не надо, и лучше по ходу дела опираться на общие факты (типа компактности замкнутого подмножества компакта).

(10 Дек '17 4:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Нет, ничего верного тут нет. Например, на прямой со стандартной метрикой отрезки $% [0 , 1] ; [2 , 3]-$% компакты, но их разность не будет открытым множеством.

ссылка

отвечен 10 Дек '17 1:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,495
×161

задан
10 Дек '17 1:47

показан
75 раз

обновлен
10 Дек '17 4:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru