1
1

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как найти все гомоморфизмы из S4 в S3? Был бы очень признателен, если бы в ответе расписали общий алгоритм, как строить гомоморфизмы (сколько раз пытался, никак не пойму)

Спасибо огромное!

задан 10 Дек '17 17:46

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала надо понять, какими могут быть ядра этих гомофорфизмов. Значит, надо перечислить все нормальные подгруппы в S4. Сразу же можно назвать члены ряда S4 > A4 > V4 > 1, где V4 -- четверная подгруппа Клейна {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.

Проверим, что это все нормальные подгруппы. Типы элементов в S4 (с точностью до сопряжённости) таковы: e; (12); (123); (1234); (12)(34). Количество элементов каждого типа: 1, 6, 8, 6, 3 соответственно. Каждая нормальная подгруппа вместе с одним элементом содержит весь класс сопряжённых. Если нормальная подгруппа N содержит транспозицию, то она равна S4, так как транспозиции порождают симметрическую группу. Также известно, что тройными циклами порождается знакопеременная подгруппа. Значит, если в N есть тройной цикл, то она содержит A4, то есть N=A4 или N=S4.

Если N содержит произведение двух транспозиций, то она содержит V4. Тогда её порядок делит 12 и делится на 4, откуда N=V4 или N=S4. И последний случай, когда N содержит цикл длиной 4. Ввиду того, что (abcd)^2=(ac)(bd), этот случай сводится к предыдущему.

Итак, ядро гомоморфизма из S4 в некоторую группу может иметь порядок 24, 12, 4 или 1. Порядок образа, соответственно, равен 1, 2, 6 или 24. Для гомоморфизмов в S3 надо рассмотреть первые три случая. Если порядок образа равен 1, то гомоморфизм всего один (единичный).

Если ядро равно A4, то гомоморфизмов из S4 в S3 столько же, сколько имеется вложений факторгруппы по ядру S4/A4 в S3. Это то же самое, что число вложений Z2 в S3, а их столько, сколько в S3 элементов порядка 2, то есть три штуки. Эти три гомоморфизма устроены так: фиксируем одну из транспозиций в S3, и если подстановка из S4 чётна, то отображаем её в e, а если нечётна, то в заданную транспозицию.

Если ядро равно V4, то рассматриваем факторгруппу S4/V4. Она имеет порядок 6, но не имеет элементов 6-го порядка, так как их нет в S4. Значит, эта группа изоморфна S3. Можно дать прямое геометрическое доказательство этого изоморфизма: S4 можно считать группой всех симметрий тетраэдра (включая зеркальные отражения). У тетраэдра можно рассмотреть три прямые, соединяющие середины противоположных рёбер. Каждое движение тетраэдра их переставляет, что задаёт гомоморфизм S4 в симметрическую группу на трёх элементах. Далее из теоремы о гомоморфизмах и сравнения порядков групп, будет следовать, что S4/V4 изоморфна S3.

Итак, гомоморфизмов из S4 в S3 с ядром V4 столько же, сколько вложений S4/V4==S3 в S3, то есть автоморфизмов группы S3. Хорошо известно, и легко проверяется непосредственно, что Aut S3 изоморфна самой группе S3 (все автоморфизмы внутренние, а центр тривиален). Поэтому добавляется ещё 6 гомоморфизмов.

Итого 1+3+6=10.

ссылка

отвечен 10 Дек '17 18:26

@falcao Спасибо вам большое! Подскажите пожалуйста, такой метод, который вы привели, справедлив для общего типа задач на нахождение гомоморфизмов? Или он специфичен только для этой задачи?

(11 Дек '17 17:27) Beginner1337

@Beginner1337: чем сложнее сами группы, тем больше может быть трудностей. Но, в принципе, это достаточно универсальный подход. Обычно мы знаем подгруппы, а также нормальные подгруппы, если речь идёт о чём-то часто используемом. Для бесконечных групп (например, свободных) такие задачи тоже нередко встречаются, и на форуме это бывало.

(11 Дек '17 17:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×917
×77
×28

задан
10 Дек '17 17:46

показан
2276 раз

обновлен
11 Дек '17 17:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru