$$(x^2+8x+15)\log_{1/2}(1+cos^2(\pi x/4))\ge1$$ Очень сложное неравенство, с чего начать?

задан 14 Мар '13 21:16

изменен 14 Мар '13 21:35

falcao's gravatar image


174k1531

Опять неправильно оформлены формулы?закрываю!

(14 Мар '13 21:18) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
4

В задачах такого типа обычно надо сначала посмотреть, какие значения могут принимать те или иные величины. Для примера: пусть дано уравнение типа $$x^2+2=2\cos y.$$ Оно всего одно, а переменных две. В общем случае такие примеры не решаются, но здесь можно заметить, что левая часть всегда не меньше $%2$%, а правая -- всегда не больше $%2$%. И поэтому равенство может иметь место тогда и только тогда, когда $%x=0$% и $%\cos y=1$%. После чего всё легко решается.

В Вашем примере можно использовать похожую идею. Что мы знаем про квадратный трёхчлен? Он имеет вид $%(x+4)^2-1$% после выделения полного квадрата, и потому его значение не меньше $%-1$%. А что известно про второй сомножитель? Косинус принимает значения от $%-1$% до $%1$%, его квадрат -- от $%0$% до $%1$%, и выражение под знаком логарифма может меняться от $%1$% до $%2$%. Поскольку основание логарифма равно $%1/2$%, то функция будет убывающей, и значения она может принимать от $%-1$% до нуля.

Произведение у нас положительно, то есть логарифм не обращается в ноль, и его значение отрицательно. Таким же оно должно быть и у квадратного трёхчлена. Отсюда легко понять, что оба сомножителя должны быть равны $%-1$%. В противном случае мы перемножим модули двух чисел, и окажется, что получилось число меньшее $%1$%, но так быть не может.

Трёхчлен принимает значение $%-1$% только при $%x=-4$%. При этом под знаком логарифма получится $%2$%, и логарифм тоже равен $%-1$%. Значит, неравенство имеет в точности одно решение: $%x\in\{-4\}$%.

ссылка

отвечен 14 Мар '13 21:52

1

Слушайте, @falcao, я на Вас обижусь! Человек не может синус через косинус выразить, а Вы за него решаете! Зачем ему это решение? Ни черта же не поймет, спишет и сдаст.

(14 Мар '13 22:20) DocentI

@DocentI: Мне кажется, это не домашнее задание, потому что такие задачи вряд ли где-то специально задают. Скорее всего, это что-то типа подготовки к ЕГЭ или к чему то ещё. Есть ещё второе соображение: задачи такого типа могут интересовать и других участников форума, поэтому пусть учатся на примерах. Я стараюсь объяснять так, чтобы было понятно. А что ещё тут можно сделать? Просто не отвечать?

(14 Мар '13 22:27) falcao

Во всяком случае, не превращать форум в место, где людей отучают мыслить самостоятельно. Откройте почти любой задачник и обратите внимание на то, что между разделами "Задачи" и "Решения" есть, как правило, раздел "Указания". При желании помочь спрашивающему можно пытаться оценить его уровень и дать подсказку с посильным - именно для него - заданием (например, решить квадратное уравнение), а следующую подсказку - после того, как покажет, что у него получилось.

(19 Июл '13 12:07) splen

@splen: мне понятны Ваши соображения, но я считаю, что сама ситуация в целом намного сложнее. Та "технология", о которой говорите Вы, и которую имеет в виду @DocentI, хорошо известна, но она рассчитана на людей с принципиально другим уровнем подготовки. Грубо говоря, человек умеет делать все стандартные вещи типа решения квадратичных неравенств, выражения косинуса через тангенс и т.п. Тогда его при решении более сложных задач достаточно слегка "подтолкнуть" советом наподобие "сделайте замену переменных, выразив всё через сумму и произведение". (продолжение следует)

(19 Июл '13 12:20) falcao
2

(продолжение) Сейчас ситуация принципиально изменилась. Я преподаю уже около четверти века в одном и том же вузе, и мне наглядно видны все происходящие изменения. Сейчас люди вообще разучились делать всё эти основные вещи, и их приходится заново учить тому, что когда-то умели все. Поэтому при изложении решений я стараюсь показывать людям те приёмы, которых они не знают. И без владения которыми задачу просто не решить. Призыв "думать самостоятельно" здесь не работает, и даже вредит -- знаю по опыту. Человек с такой подготовкой, если сам начнёт придумывать методы, (продолжение следует)

(19 Июл '13 12:24) falcao

Мой опыт говорит об обратном. Повторяю: оценить его уровень и дать подсказку с посильным - именно для него - заданием. После этого можно откорректировать уходы не в ту сторону. Это срабатывает почти всегда. Давайте не будем козырять регалиями. Здесь многие имеют педагогический стаж.

(19 Июл '13 12:24) splen

(продолжение) ... такое "удумает", что потом сто академиков не разберётся. Сейчас другие времена, и надо учить людей решать задачи правильными способами. Именно эта культура сейчас напрочь утрачена, и восстанавливать надо именно это. А по части "сообразительности" и "смекалки", на которую когда-то делалась ставка, любой современный школьник даст фору "старикам" типа меня. И не о "креативности" пресловутой надо думать (её сейчас хоть отбавляй), а о грамотности: чтобы палочки писать умели, чтобы условия задач воспроизводили без ошибок и так далее.

(19 Июл '13 12:28) falcao

"Призыв "думать самостоятельно" здесь не работает, и даже вредит " - просто замечательно!

" ..."сообразительности" и "смекалки" ... ", " ..."креативности" пресловутой..."

Речь шла об умении применять стандартные методы в стандартных задачах. Это не вырабатывается без самостоятельных упражнений, а разбор допущенных ошибок иногда более полезен, чем разбор готового правильного решения.

(19 Июл '13 13:22) splen
2

Я всецело поддерживаю @falcao. Он учит мыслить, а не решать Тот, кто не умеет решать, всё равно не научится, а вот - мыслить! - этому надо учиться, и, пожалуй, лучше @falcao это сделать (научить!)никто у нас не может. Я почти уверен, что я абсолютно прав! (какая противоречивая фраза! Прошу прощения)... Учёба бывает двух видов: 1) бросить ребёнка в воду - или утонет, или научится плавать (это метод @DocentI - революционный!), 2) учить, держа под животик, подсказывая, как болтать ножками и проч. (это метод @falcao - эволюционный). Какой метод лучше? Уж это зависит от психологии индивидуума.

(23 Июл '13 23:52) nikolaykruzh...

Здесь не всё так просто. Есть некоторые индивидуумы, которые, если им один раз помочь, считают, что теперь им должны помогать, просто потому что помогли. Они считают добрую волю за слабость и пытаются воспользоваться ей в корыстных целях. К ним лучше применять метод @DocentI, иначе их не проучить.

(24 Июл '13 9:17) MathTrbl
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
3

$$(x^2+8x+15)\log_{1/2}(1+cos^2(\pi x/4))\ge1\Leftrightarrow x^2+8x+15\le\frac{1}{\log_{1/2}(1+cos^2(\pi x/4))}.$$ $$\Big(\min_{x\in R}(x^2+8x+15)=(-4)^2+8(-4)+15=-1;$$$$\max_{x\in R\diagdown \{4k+2,k\in Z\}}\frac{1}{\log_{1/2}(1+cos^2(\pi x/4))}=-1,при\quad cos^2(\pi x/4)=1 \Big)\Rightarrow $$$$\Rightarrow\Big((x^2+8x+15)\log_{1/2}(1+cos^2(\pi x/4))\ge1 \Leftrightarrow x=4\Big).$$

ссылка

отвечен 23 Июл '13 12:09

изменен 23 Июл '13 15:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,610
×218
×217

задан
14 Мар '13 21:16

показан
1786 раз

обновлен
24 Июл '13 9:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru