(AΔB)Δ(CΔU) = (A'ΔB)ΔC

задан 12 Дек '17 15:54

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для удобства, я немного изменю обозначения. Будем универсальное множество обозначать в виде символа $%1$% вместо $%{\cal U}$% (с идеей, что 1 символизирует истину для высказываний, или ответ "принадлежит" для множеств, а универсальному множеству у нас все элементы принадлежат). Кроме того, симметрическую разность будем обозначать символом $%\oplus$% вместо $%\Delta$%. Это удобно в том смысле, что в символике нулей и единиц, для симметрической разности происходит их сложение по модулю 2, то есть $%1\oplus1=0$%.

Очевидно, что для симметрической разности справедлив переместительный закон. Проверим при помощи кругов Эйлера, что справедлив также сочетательный закон, то есть $%(A\oplus B)\oplus C=A\oplus(B\oplus C)$%. Нарисуем три круга, и выделим симметрическую разность множеств $%A$% и $%B$%. Далее добавляем к этой области $%C$%, удаляя пересечение с предыдущим множеством, состоящее из двух частей. Останется 4 части, которые заштрихуем: это общая часть всех трёх множеств, а также 3 части, элементы которых принадлежат ровно одну из трёх кругов.

Картинка получается симметричная, а это значит, что для другого порядка следования множеств, у нас получится ровно то же самое.

Теперь, как и для чисел, суммы нескольких элементов можно писать без скобок: $%A\oplus B\oplus C$%. Также заметим, что дополнением множества $%A$% является его симметрическая разность с универсальным множеством. То есть $%A'=A\Delta{\cal U}$% в старых обозначениях, и $%A'=A\oplus1$% в новых.

Теперь докажем тождество, применяя уже аналитические средства: $%(A\oplus B)\oplus(C\oplus1)=A\oplus B\oplus C\oplus1=A\oplus1\oplus B\oplus C=(A'\oplus B)\oplus C$%, в новых наших обозначениях.

ссылка

отвечен 12 Дек '17 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,254
×259

задан
12 Дек '17 15:54

показан
314 раз

обновлен
12 Дек '17 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru