Как выглядит максимальный идеал кольца полиномов над комплексными числами?

задан 14 Дек '17 19:52

Все идеалы в кольце многочленов над полем главные. Максимальный идеал порождается неприводимым многочленом. В силу основной теоремы алгебры, это в точности многочлены первой степени. Поэтому в C[z] получаются главные идеалы вида (z-z0), где z0 -- фиксированное комплексное число. Можно добавить, что факторкольца по этим идеалам изоморфны полю C.

(14 Дек '17 20:14) falcao

А как выглядит факторкольцо по этому идеалу? И как доказать,что оно изоморфно С?

(14 Дек '17 21:05) Желтая кукуруза

@Желтая кукуруза: вопрос "как выглядит" что означает? Сказано ведь, что оно изоморфно C, то есть мы это уже знаем. Вообще-то, любое факторкольцо по главному идеалу состоит, фактически, из остатков от деления на его порождающий. В данном случае мы строим гомоморфизм из C[z] в C, сопоставляя многочлену f(z) его значение в точке z0. Если многочлен принадлежит ядру, то по теореме Безу, f(z) делится на z-z0, то есть f(z) принадлежит главному идеалу (z-z0). Остаётся применить теорему о гомоморфизмах колец: C[z]/(z-z0) изоморфно образу, а он равен C, так как значения в точке z0 могут быть любыми.

(14 Дек '17 21:29) falcao

мы строим гомоморфизм из С[z] в C, то нам же нужно доказывать в данном случае,что это гомоморфизм? Как это доказать? Извините, что так много вопросов

(15 Дек '17 19:30) Желтая кукуруза

@Желтая кукуруза: почти все абстрактно формулируемые факты отражают что-то хорошо известное. Иногда -- простое, иногда -- не очень. Данный факт о гомоморфности отображения имеет такой смысл: многочлены умножаются по тем же правилам, что и числа. Если рассмотреть сумму многочленов от z, а потом подставить z=z0, то получится f(z0)+g(z0). Аналогично для произведений.

(15 Дек '17 19:47) falcao

И в данной ситуации у нас идеал является ядром, а комплексные числа образом, поэтому мы можем использовать теорему о гомоморфизме?

(15 Дек '17 19:52) Желтая кукуруза

@Желтая кукуруза: да, это совершенно верно. Можно к этому добавить, что Волга впадает в Каспийское море, а лошади кушают овёс и сено :)

(15 Дек '17 20:12) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×400
×77

задан
14 Дек '17 19:52

показан
115 раз

обновлен
16 Дек '17 6:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru